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Segue, avuto riguardo alle (7) e (9), che la serie Y t g>- è convergente 



i 



in media-, quindi, pel teorema di Weyl, esisteranno dei numeri interi, po- 

 sitivi crescenti X x , X 2 , X 3 , ... tali che la serie 



( 10 ) < + « - + (</>x 3 - O + - 



è equiconvergente in generale nel campo S. Ma, in virtù della equiconver- 



i 



genza in generale della serie (8), si può dire certamente che, posto u f = Y r v r , 

 la serie 



( n ) + (^x 2 — uxj + {ux 3 — u h ) + ••• 



è pure equiconvergente in generale entro S e vi rappresenterà sempre la 

 medesima funzione f{x , y , s)., giacché la serie (11) non è altro che la (8) 

 alla quale è stata applicata la proprietà associativa. Esaminando, dunque, le 

 due serie (10) e (11) noi possiamo affermare che esiste una serie di numeri 

 interi e positivi crescenti X[ , , A' 3 , ... tali che le serie 



(12) 1 



J A', tf 2 r, 



/ T { A,- pi k\ e-**< 1 -4- }_i Ai joì ^ e- Kft i J + A,- p f A? e~^ 1 + - , 



il A', - 1 Jt' a + i 



sono equiconvergenti in generale nel campo S e la prima serie ha per somma 

 f{x , y , s). Ciò che importa di notare è che nelle due serie l'aggruppamento 

 dei teoremi corrisponde agli stessi valori degli indici X[ , X' z , X' s , ... 

 6. In modo anologo, partendo dalla disuguaglianza 



k\e- Knit < 1 



e dalla successione 



= ^L,. A r j0 r k r e~ Khrt , 

 Vi-t - 1 



dove X[, X r z , X' s , ... sono gli stessi indici che figurano nelle serie (12), e posto 



^•=2>;> 0 = 1 ,2,3,...) 



si proverebbe la convergenza in media della successione delle xjj'j e quindi 

 la esistenza, a norma del teorema di Weyl, di infiniti numeri interi e po- 

 sitivi crescenti (ii , [in , (i 3 , .. tali che la serie 



