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risulti equiconvergente in generale nel campo S . Ma allora, valendosi della 

 proprietà associativa per le serie (12), si può concludere che esiste una serie 

 di numeri interi e positivi crescenti [i[ , fi' 2 , fi' 3 , ... tali che le tre serie 



Ti. Ai pi + % Ai Pi 



£t Ai Ti Aipi/fie-^i' -\- - , 



convergono in egnal grado generalmente in S e che la prima rappresenta 

 la funzione f(x , y . <r) in quel campo. 



Finalmente, sempre con lo stesso metodo, e partendo dagli indici p[ , 

 ^2,^3, ••• , si proverebbe che esiste una serie di numeri positivi crescenti 

 indefinitamente v[ . v ' t , r' 3 , ... tali che le quattro serie 



(13) 





1 w 





V i Ai pi 



+ V > Ai pi 



-f -, 



1 



v\ -, 1 





v\ 



A 





YjAiPik\e- 



-«**_(- y. AipikU^ 1 



+ ••• , 



1 



v\ + l 



v\ 







s ' i Ai pi k t e- 



■ Kft ' £ + Xi Aipik ie -^ 





i 







1 H- 1 



sono equiconvergenti in generale dappertutto nel campo S e che la prima 

 serie ha ivi per somma f(x , y , g). 



7. Dalla dimostrata uniforme convergenza in generale delle serie (13) 

 segue che a quelle serie è applicabile il teorema di integrazione per serie, 

 tanto nel campo S quanto sul contorno a. Si possono quindi ripetere, senza 

 alcuna modificazione, i ragionamenti contenuti nei §§ 38 e 39 della citata 

 Memoria (della Società italiana delle Scienze) del prof. Lauricella e dai 

 quali risulta che la funzione V. definita dall'ultima serie (13), risolve com- 

 pletamente il problema del raffreddamento, nel supposto che la temperatura 

 iniziale f(x,y, s) soddisfi alla sola condizione di avere le derivate prime 

 finite nei punti dell'interno di S e le derivate normali, nei punti di e, 



soddisfacenti alV equazione ^~ = hf 



dn ' 



