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Matematica. — Sugli integrali curvilinei del Calcolo delle 

 Variazioni. Nota I di Leonida Tonelli, presentata dal Socio 



S. PlNCHERLE. 



1. Pino dal 1879 Weierstrass aveva avvertito in modo chiaro che il 

 concetto d'integrale, quale era stato posto dal Riemann, non poteva riuscire 

 sufficiente ai bisogni del Calcolo delle Variazioni. E nelle sue « Vorlesungen 

 iiber Variationsrechnung » aveva proposto una definizione di integrale che 

 sembrava — ed era infatti — più larga di quella di Riemann, e si presentava 

 naturalmente come generalizzazione della lunghezza di una linea. Il nuovo 

 integrale esisteva e coincideva con quello riemanniano tutte le volte che ve- 

 niva applicato a curve aventi tangente variabile in modo continuo e dotate, 

 tutt'al più, di un numero finito di punti angolosi; inoltre, poteva esistere 

 anche in casi di mancanza dell'integrale di Riemann. Non era però dimostrata 

 la condizione essenziale perchè potesse venir accettato come generalizzazione 

 dell'antico integrale: vale a dire, che l'esistenza di quest'ultimo portasse di 

 necessità l'esistenza di quello, e l'identità dei due valori così definiti. La 

 mancanza poi di condizioni sufficienti per l'esistenza dell'integrale di Weier- 

 strass, più larghe di quelle solite che assicurano dell'integrabilità nel senso 

 di Riemann, fece sì che la nuova definizione rimanesse per lungo tempo quasi 

 ignorata. Fu solamente nel 1901 che essa venne ripresa dall'Osgood ( 1 ), il 

 quale, mostrando che la classe delle curve per cui esiste l'integrale genera- 

 lizzato nel senso di Weierstrass, coincide con quella delle curve che ammettono 

 l'integrale nel senso generalizzato di Hilbert — quando la funzione F(as , y x'y'), 

 che va integrata, sia sempre positiva insieme con l'invariante I\ — fece ve- 

 dere che, sotto le stesse ipotesi relative alle P e F, , l'integrale di Weierstrass 

 esiste tutte le volte che lo si applica ad una curva rettificabile ( 2 ). 



In ciò che segue, noi dimostreremo l'esistenza dell'integrale di Weierstrass 

 sotto la sola condizione che la curva lungo la quale si vuole integrare abbia 

 lunghezza determinata e finita, liberandoci interamente da qualunque ipotesi 

 restrittiva circa il segno delle F «P,. Mostreremo poi che quest'integrale 

 è invariante rispetto alla rappresentazione analitica della curva su cui 

 esso opera; e che è uguale all'integrale, preso nel senso del Lebesgue, 



(') On a fundamental propriety of a minimum in the Calculus of Variations ecc. 

 (Transactions of the American Math. Society, voi. II, pag. 273 ^ 1901). 



( 2 ) Gfr. Bolza: Lectures on the Calculus of Variations (1904) pp. 248-253; L. Tonelli: 

 Sui massimi e minimi assoluti del Calcolo delle Variazioni, §§ II e III (Eendiconti del 

 Circolo Matematico di Palermo, tomo XXXII, 1911). Questa Memoria nel seguito verrà 

 indicata con (T). 



