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x , y , x' , y') dt , quando il parametro t coincida con la lunghezza 



dell'arco della curva detta, oppure sia tale da rendere assolutamente continue 

 le funzioni x(t) , y(t). Da ciò la relazione fra l'integrale di Riemann e quello 

 di Weierstrass. 



L'identità dei risultati a cui conducono le definizioni di Weiestrass e 

 di Lebesgue (quando questa venga applicata alla rappresentazione pararnetrica 

 detta) potrebbe far credere inutile la considerazione della prima di esse. Ma 

 ciò non è, perchè se talvolta, per certi ragionamenti, la definizione del Le- 

 besgue si presta assai meglio di quella del Weierstrass, tal'altra è quest'ultima 

 che ha un notevole vantaggio sulla prima ('). Servendoci appunto della de- 

 finizione del grande analista tedesco, noi mostreremo che se immaginiamo 

 inscritta in una data curva una poligonale, l'integrale di una stessa funzione 

 ~F(x ,y,x', y'), esteso alla poligonale, tende a quello relativo alla curva, col 

 tendere a zero di tutti i lati della poligonale medesima. Resterà così pie- 

 namente giustificata, anche per l'integrale preso nel senso del Lebesgue, 

 un'affermazione di Hadamard ( 2 ), secondo la quale ogni curva per cui esiste 

 l'integrale della F può riguardarsi come limite di curve ordinarie (aventi 

 cioè tangente continua, salvo in punti isolati) tali che i loro integrali ten- 

 dano all'integrale di quella primieramente considerata. Questa proposizione 

 potrebbe indurre a ritenere superflua la considerazione di integrali più generali 

 di quello di Uiemann, perchè da essa si trae che, se una curva rende minimo 

 l'integrale della F fra quelle ordinarie, lo rende minimo anche fra tutte le 

 altre. Tale considerazione è, invece, indispensabile, per il fatto che le curve 

 minimum possono non essere ordinarie, e non è possibile perciò scartare 

 a priori tutte le curve che ordinarie non sono, senza correre il rischio di 

 eliminare quella che forma precisamente lo scopo della ricerca ( 3 ). In una 



i 1 ) Noi stessi, in (T) § VI, basandoci sulla definizione di Weierstrass, potemmo ot- 

 tenere una proposizione relativa all'integrale della F. calcolato lungo una curva, che, per 

 altra via, non sarebbe stato forse possibile ottenere. 



( 2 ) Lecons sur le Calcul des Variations. Paris. 1910, pag. 483. 



( 3 ) La considerazione di integrali più generali di Kiemann, in questioni di Calcolo 

 delle Variazioni, si è già presentata a noi indispensabile nella Memoria (T). A proposito 

 della quale vogliamo osservare che un caso particolare del teorema di minimo in essa 

 stabilito è stato ritrovato recentissimamente dal dott. A. Signorini (vedi questi Eendiconti, 

 gennaio 1912 e Rendiconti del Circolo Mat. di Palermo, 1912). Il metodo di dimostrazione 

 seguito da codesto A. è assai semplice ed elegante, ed è un vero peccato che non possa 

 estendersi al teorema generale da noi dimostrato. Il Signorini aggiunge, in nostro con- 

 fronto, due limitazioni : una riguardante la varietà delle curve considerate, e l'altra relativa 

 al contorno del campo in cui giacciono le curve. Egli, infatti, considera solo la classe di 

 tutte le curve del campo, mentre noi consideriamo classi più generali, che contengono 

 quella come caso particolare; inoltre, egli suppone che il contorno del campo soddisfi a 

 certe condizioni di molto restrittive che impediscono, anche in casi semplici, l'applicazione 

 del teorema. Per tali condizioni, p. es. non è possibile dimostrare che in un campo non 

 convesso esiste una minima distanza fra due punti. 



