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prossima Nota, daremo ima generalizzazione delle proposizioni accennate sulle 

 poligonali inscritte in una curva; dimostreremo cioè che, se la curva ret- 

 tificabile d tende all'altra pure rettificabile C, in modo che la sua lunghezza 

 tenda alla lunghezza di quest'ultima, l'integrale della F esteso alla prima 

 curva tende allo stesso integrale esteso alla seconda. 



2. Sia F(x , y , x' , y r ) una funzione finita e continua insieme alle sue 

 derivate parziali dei primi tre ordini, per tutti i punti (x , y) di un dato 

 campo chiuso A e per tutte le coppie (x r , y') di numeri finiti non nulli 

 insieme. La F sia inoltre positivamente omogenea di grado 1, rispetto alle 

 variabili x , y : vale a dire, soddisfi alla relazione 



¥(x , y , Kx' , Ky r ) = KF(* , y , x' , y') 

 per ogni K > 0 . Indicheremo nel seguito con Fj la funzione definita da 



¥,(x ,y,x',y') = — -77 = — , 



^ y x 



e che, per le ipotesi fatte sulla F, risulta finita e continua insieme alle sue 

 derivate parziali del primo ordine, per ogni punto (x , y) di A e ogni coppia 

 di numeri (x' , y') non ambedue nulli. Sia poi 



x = x{t) , y = y(t) (t m <t<t U) ) 



una curva continua rettificabile, costituita di punti interni ad A. Come si 

 sa (teorema di Jordan), la condizione necessaria è sufficiente affinchè la C 

 sia rettificabile è che le funzioni x(t) , y(t) siano a variazione limitata. 



3. Consideriamo una divisione D dell'intervallo (t l0) , t a) ) in parti me- 

 diante i punti 



t™ = U < li < t* <■. .< In = t UÌ 



e formiamo la sommatoria 



W D (F) = X F j x{U) , y{U) , lx{U +1 ) - x(U)] , [y(f, +1 ) - y{U)~] \ 



= 1 ¥(x~) , y s , J%v , Jy^). 



Se, al tendere a zero della massima delle differenze U+i — ^1 ^ somma 

 W„(F) ^«cte sempre ad uno stesso limite determinato e finito, tal limite 

 è l'integrale di Weierstrass della funzione F, relativo alla curva C ( 1 ). 

 Questo integrale lo indicheremo con W C (F). 



( ! ) Si può notare che la definizione data per l'integrale di Weierstrass è perfetta- 

 mente equivalente a quest'altra. Si inscriva nella curva C una poligonale, in modo che 

 risulti tutta interna ad A, e si consideri l'integrale di Eiemann della F, esteso ad essa. 

 Se, al tendere a zero del massimo lato della poligonale, quest'integrale ammette limite 

 determinato e finito, tale limite è l'integrale di Weierstrass della funzione F, esteso alla 

 curva C. (Cfr. Osgood, loc. cit.). 



