4. Sia Mi il minimo della funzione F(x,y,x',y') per ogni punto (xy) 

 di A e ogni coppia (x'y') soddisfacente alla condizione 



x n -f- y n = 1 . 



Analogamente, sia w 2 il minimo della F,{x , y , x' , y') per gli stessi punti 

 (x,y,x',tj). Detto m un numero positivo maggiore del più grande di due 

 valori assoluti |f»i|,|m 2 |, consideriamo la funzione 



(1) F(x ,yx',y') = F(x,y,x', y') -f m l/x n + y'* (*). 



Essa soddisfa alle stesse condizioni della F ed è 



Mx,y,x' ,y') = Y{ x , y , x > , y >) + — 



m 



(x' 2 -f /*)•/. ' 

 Abbiamo inoltre per il significato di m 



per tutti i punti {x , y) di A e per ogni punto {x' , y') della circonferenza 

 x n -{- y' 2 = 1. Con la funzione F siamo dunque nel caso ( 2 ) in cui è nota 

 l'esistenza dell'integrale di Weierstrass relativo alla curva C. Abbiamo così 

 che, al tendere a zero della massima delle differenze * v+1 — U , la somma 



2 F(x~, , y v , Jxy , JyJ 



Jfcende sempre ad un limite dete rminato e finito. La medesima cosa succede 

 relativamente alla funzione m y 'x' 2 -f- y' 2 , che soddisfa alle stesse condizioni 

 della F, vale a dire, esiste anche il limite di 2 mYlx^-\-Jy, . Ora è, per 

 la (1), 



2 F(*„ , y„ , Jx H , ^) = 2 F(x, , y, , Jx s , ^) — 2 m ì/j 2 Xs _f_ Z| v 



ed esiste perciò, determinato e finito, il limite di 2 F(x, , y, , Jx, , Jy,) al 

 tendere a zero della massima delle differenze — U . Possiamo concludere 

 che 



l'integrale di Weierstrass della funzione F(x,y,x r , y% calcolato 

 Lungo una curva G , esiste sotto la sola condizione che la C sia rettificabile. 

 Ripetendo un ragionamento da noi già fatto altra volta ( 3 ) abbiamo che 

 l'integrale di Weierstrass è indipendente dalla rappresentazione 

 parametrica della curva C. 



1 1 ) Qui e nel seguito considereremo sempre il valore positivo del radicale. 



1 2 ) Cfr. Bolza, loc. citi; Tonelli (T) § III. 

 ( 3 ) Tonelli (T) n. 16. 



