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5. Poiché le funzioni F e m \ V 2 + y' 2 soddisfano a tutte le condizioni 

 necessarie per la validità dei risultati da noi ottenuti in (T), possiamo scri- 

 vere (applicando il teorema del n. 26), se il parametro t rappresenta la 

 lunghezza dell'arco o, più generalmente, se è tale da rendere le funzioni 

 x _ x ( t ) . y = y {t), che rappresentano la curva, assolutamente continue ( J ) : 



W c (f)=j t [l l ) ) f(x,y,x',y r )dt 



W c (m \'x' 2 -\-y' 2 ) = j* 0 } m fx n + y'Hi: 



Qui i secondi membri sono degli integrali presi nel senso del Lebesgue ; 

 x' , y' rappresentano le derivate di x(t) , y{t) ; dove queste derivate non esistono 

 o sono ambedue nulle, le funzioni da integrare si considerano nulle. Dalle 

 uguaglianze scritte deduciamo l'altra 



W c (F) = W c (F) - W c (m i/x't + y'*) = J^" F(* , y , x r ,y f ) alt 



Resta dunque dimostrato che 



supposta la curva C rettificabile, l'integrale di Weierstrass coincide 

 con quello del Lebesgue, quando questo venga calcolato mediante una rap- 

 presentazione della curva, tale che ,x(t),y(t) risultino assolutamente continue. 



Da questo enunciato vengono escluse quelle rappresentazioni della curva 

 per le quali le funzioni x{t) , y(t) non sono assolutameute continue : ciò perchè, 

 prendendo a considerare tali rappresentazioni, non si è certi dell'invariabilità 

 dell'integrale della F, preso nel senso del Lebesgue. Anzi è dimostrato che, 

 se la F è sempre di un segno, per es. sempre positiva, e le x{t) , y{t) non 

 sono assolutamente continue, è 



jjr^w) ' ' ' dt < Sm F ^ s) • lÀs) • x ' {s) • y,{s):ìds : 



qui s misura l'arco della curva ( 2 ). 



6. Immaginiamo ora di aver una poligonale P inscritta nella curva C, 

 in modo che i suoi vertici si susseguano sulla curva tutti nello stesso ordine, 

 coincidendo, il primo e l'ultimo, con gli estremi della curva stessa. Suppo- 

 niamo che i lati della poligonale siano abbastanza piccoli da risultare tutti 

 interni al campo A, e consideriamo l'integrale della F 



(2) J p F(x,y ,x' ,y')ds, 



t 1 ) Per la definizione di funzioni assolutamente continue, vedi G. Vitali: Sulle fun- 

 zioni integrali (Atti E. Accad. delle scienze di Torino, 1904-05). 



( 2 ) Vedi per tutto ciò : Tonelli, Sugli integrali curvilinei. (Rend. Accad. dei Lincei, 

 febbraio 1911). 



