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di 1 a specie di 2' in sè. Talché, detta w una, variabile, di queste ultime 

 corrispondenze, tutte le corrispondenze fra 2,2' si ripartiscono in 2 o 4 o 

 6 sistemi Ti co , biraz. identici a 2,2'; due sistemi diversi non hanno 

 mai una corrisp. a comune; due corrisp. di uno stesso sistema ron hanno 

 mai a comune una coppia di elementi omologhi. 



Orbene, si consideri una coppia variabile di curve C , C omologhe in 

 ima corrisp. Ti»; esse si incontrano in un gruppo di punti che descrive 

 una curva (eventualmente riducibile) K^. Questa, al variar di co, descrive 

 un fascio Si bir. identico a 2,2'-. poiché, se to' è un'altra corrisp. di prima 

 specie di 2' in sè, le corrisp. Tjco , Tjo/ non hanno coppie comuni, e quindi 

 le curve Kìq> , Kiw non hanno punti comuni. 



Il fascio Sj e 2 (o 2') non possono evidentemente essere composti con 

 uno stesso fascio ; ma vediamo anche facilmente che lo stesso può dirsi 

 dei due fasci Si,S t v. Se infatti esistesse un fascio di curve y, ognuna delle 

 quali fondamentale per S* e per S^, la generica y (non sarebbe certo fon- 

 damentale per 2 né per 2' e) sarebbe parte di una Kjw e di una 



ma allora le infinite coppie di curve C , C uscenti dai suoi punti 

 sarebbero omologhe nella Tj«o e nella T;r&/, che perciò coinciderebbero: il 

 che è assurdo. 



Riassumendo : i due fasci 2 , 2' generano, nel modo suesposto, altri 

 2 o 4 o 6 nuovi fasci S ( -, bir. identici a 2,2'. 



2. Nelle considerazioni precedenti non si esclude che uno o ciascuno 

 dei fasci 2 , 2' sia composto. Ma allora prendiamo entro 2 , 2' due involu- 

 zioni ellittiche I , V, bir. identiche fra loro (e ciò si può in infiniti modi (*)) : 

 anche i fasci I , I' genereranno a lor volta 2 o 4 o 6 fasci ellittici. 



Ora domandiamoci : un fascio (P , generato da una coppia di involuzioni 

 1,1', e un fascio <P] , generato da un'altra coppia Ij , Il , possono essere 

 composti con uno stesso fascio? È assai agevole riconoscere quando ciò av- 

 viene; ma per brevità io qui mi limiterò a dimostrare che alla precedente 

 domanda va risposto negativamente, se una delle involuzioni I , V e una 

 delle li , I[ sono di 1° ordine ( 2 ). E per questo, analogamente a quanto si 

 è fatto in fine del n. 1, basterà mostrare che non può esistere una curva y, 

 non fondamentale per 2, faciente parte di ima curva, K, di (P e di una, 

 Ki , di <P X . Ed infatti la curva K sarà generata, nel modo esposto al n. 1, 

 da una corrispondenza biunivoca fre I , I', la quale può, per ì' ipotesi fatta, 

 riguardarsi come una corrispondenza unirazionale 0 fra 2,2'; e similmente 

 la Ki sarà generata da un'altra corrisp. unirazionale & x fra 2 , 2'. Ora, se 



( 1 ) Cfr. Castelnuovo. Geometria sulle curve ellittiche [Atti Acc. Torino, voi. XXIV 

 (1889)]. 



( 2 ) Sono costituite cioè dai singoli elementi degli enti sostegni 2 o X' . Con questa 

 limitazione della ricerca non vediamo quali siano tutti i fasci deducibili, . col nostro me- 

 todo, da 2,2': ma ciò, per dimostrare i teoremi enunciati in prefazione, non importa. 



