— 455 — 



esistesse la suddetta curva y, le infinite coppie di curve C , C uscenti dai 

 suoi punti sarebbero omologhe sia in 0 che in @ x : il che è assurdo, poiché 

 le corrisp. 0 , 0, sono irriducibili. Ciò prova l'asserto. 



Poiché in 2 (e in 2') esistono, notoriamente infinite involuzioni 

 bir. identiche a 2 , 2', quanto abbiamo or ora dimostrato basta già a farci 

 conchiudere che: su una superficie F contenente due fasci ellittici bir. 

 identici, non composti con uno stesso, esistono infiniti fasci ellittici irri- 

 ducibili. 



Dalle considerazioni svolte discende subito il teorema I della prefazione. 



3. L'estensione del teorema I a una varietà cc h (k^>2) può farsi con 

 semplici cambiamenti di parole. Ma si può pure, come mi ha fatto rilevare il 

 prof. Severi, procedere, più elegantemente, così. Se una varietà oo* , V ft , pos- 

 siede due fasci ellittici irriducibili 2 , 2' di varietà oo*- 1 , V , V, prese due 

 curve ellittiche r , r' bir. identiche a 2 , 2', la Y k risulta in corrispon- 

 denza unirazionale colla superficie F delle coppie di punti di r , V ; ai punti 

 di F corrispondendo le V ft _ 2 comuni a una V e a una V. Ora, se 2,2' si 

 possono mettere in corrispondenza unirazionale fra loro, F contiene, per il 

 teorema I, infiniti fasci ellittici irriducibili di curve; quindi la Y h conterrà 

 infiniti fasci ellittici irriducibili di V ft _! , c. d. d. 



4. Per dimostrare il teorema II premettiamo tre lemmi, la cui dimo- 

 strazione, immediata dal punto di vista trascendente, può pure condursi per 

 via geometrica nel seguente modo. 



a) Se una curva C (di genere >1) possiede una involuzione ellittica I, 

 la varietà V, delle «'-pie (*> 1) di punti di C possiede un fascio 2 di Vi_i, 

 bir. identico a I, Si prenda infatti nell'ente co 1 1 una g^ 1 ; e in ciascuno 

 dei gruppi di I che formano un gruppo variabile di tal g'- 1 si prenda ar- 

 bitrariamente un punto. Si ottengono così un certo numero di gruppi di i 

 punti, e tali gruppi variano in una serie oo''- 1 , ossia in una V lVl di V*. 

 Al variare della suddetta gj-\ tal V M descrive il fascio 2, di cui parla 

 l'enunciato. 



b) Inversamente: se contiene un fascio ellittico 2 di V M , questo 

 può invaginarsi ottenuto, nel modo anzidetto, da una certa involuzione ellit- 

 tica I di C . Preso infatti su C un gruppo di i — 1 punti, i residui di 

 esso rispetto alla serie imagine di una V f _i variabile di 2 costituiscono un 

 gruppo, che descrive appunto, com' è facile vedere, la involuzione I di cui 

 parla l'enunciato. 



Infine si può vedere, con considerazioni semplicissime, che: 

 <?) Se l' involuzione I è composta, il fascio 2 è riducibile ; e viceversa. 

 Dopo ciò, dal teorema I e dai precedenti lemmi a), b), c) discende 

 senz'altro il teorema II della prefazione. 



(') Cfr. Castelnuovo, loc. cit. 



