— 456 — 



Osserverò che il teorema II potrebbe anche dimostrarsi costruendo 

 sulla curva C le infinite involuzioni di cui esso parla, con l'identico me- 

 todo da noi usato pei fasci su una superficie. Non entro qui in dettagli, 

 per mancanza di spazio. 



5. Il prof. Severi, cui comunicai le presenti considerazioni, mi fece 

 anche rilevare una semplicissima dimostrazione trascendente del teorema I, 

 enunciato per una varietà V ft , di dimensione qualunque #£Èl. Eccola. 



Se V ft possiede due fasci (involuzioni, per k = 1) ellittici bir. identici, 

 non composti con uno stesso, questi daranno luogo a due integrali semplici 

 di l a specie, u,v, di V ft , riducibili a integrali ellittici. Riducendo a forma 

 normale i loro periodi, si otterrà la tabella: 



1 0 t 0 



0 1 0 T 



e quindi ogni integrale del tipo Xu -f- fiv, con X , /li intieri non nulli, sarà 

 anche riducibile a ellittico: poiché i suoi periodi si esprimono come com- 

 binazioni lineari a coefficienti intieri di Ne viene che le varietà 

 Xu -J- iiv — cost. sono algebriche, e costituiscono un fascio ellittico : diciamo 

 2" questo fascio, se irriducibile, o, se no, il fascio irriducibile con cui esso 

 è composto. Si ottengono così, al variare di X , ii , infiniti fasci irriducibili 

 distinti fra loro e da 2,2': poiché se, per es., 2" coincidesse con 2', do- 

 vrebbero Xu-{- fiv e v differire per un fattore costante, e quindi sarebbe 



a-oo. 



6. A complemento dei teoremi dimostrati aggiungiamo quanto segue. 

 Se una varietà Y k (k ^ 1) possiede due fasci ellittici 2 , 2' di varietà 



V'ft_i, non composti con uno stesso, ed essi non si possono mettere in 

 corrispondenza unirazionale fra loro, qualunque corrispondenza algebrica 

 fra 2,2' sarà a valenza zero. ( 2 ). 



Ne segue, se k^>\, che: presa comunque una curva y di V s , non 

 fondamenatale per 2, nè per 2' , l'insieme delle V r ft _i (ffVfc-i) passanti 

 pei punti in cui y incontra una Yn-i (aVV-i) variabile, varia in un si- 

 stema lineare. 



E, Sé k=== 1 , che: l'insieme dei gruppi dell'involuzione 2 (o 2') uscenti 

 dai punti di un gruppo variabile di 2' (o 2), varia in una serie lineare; 

 epperò ( 3 ) le due involuzioni hanno 



nn' + l — ? 



(') Pel caso in cui sia una curva di genere due, cfr. Krazer, Lehrbuch der 

 Thetafunktionen [Teubner, 1903], pag. 489. 

 ( 2 ) Cfr. Castelnuovo, loc. cit, n. 17. 



( 3 j Cfr.Amodeo, Contribuzione alla teoria delle serie irrazionali, etc. [Ann. di 

 Mat., s. 2, t. XX], n. 17. 



