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coppie comuni: n, n' indicando i loro ordini, p il genere della curva 

 sostegno. 



7. Terminerò con una osservazione. Nella costruzione di tutti i fasci ellit- 

 tici esistenti su ima V ft che ne contenga 2, bir. identici, si presenta la questione : 

 quali sono su una curva ellittica C le involuzioni bir. identiche a essa? 

 Si sa che per ogni valore dell'intiero n ne esiste una, H„ 2 , di ordine ri 2 , 

 la quale è costituita dai gruppi dei punti «-pli (pensati ciascuno una volta) 

 delle g%~ x di C . Orbene : io dimostrerò che se su C esistono solo corrispon- 

 denze a valenza (e solo allora) le dette H„2 sono le sole involuzioni bir. 

 identiche a C. Sia infatti I m una involuzione di ordine ni, bir. identica 

 a C ; e fissiamo una corrisp. biunivoca fra C e I m : essa può riguardarsi 

 come una corrispondenza T, di indici 1 , m, fra i punti di 0; , e come tale 

 avrà, per ipotesi, una certa valenza v % 0. Poniamo n = diciamo P,P S - 

 (/ = 1 , 2 , ...) punti di C ; G , Gj i loro gruppi omologhi; sarà: 



(1) vP + G = vP,- + G t . 



Fissati ora P e G, esistono n 2 — 1 (e solo n 2 — 1) punti P, tali che: 



(2) ri? = nVi ; 



ed esistono (') m — 1 (e solo m — 1) gruppi Gì, tali che 



(3) G = G*. 



Poiché le relazioni (2) e (3) sono, in virtù della (1), fra loro equiva- 

 lenti, segue m = n 2 . Se poi sono Ai A 2 ... A n2 i punti di G, si ha (consi- 

 derando la T _1 ) : 



»'A, + P = vA 2 -j- P = - = vA n2 + P , 



quindi anche: 



n Ai = n A 2 = •■• = nk n * : 



ma dunque la I m coincide colla H n * , c. d. d. 



Se C possiede corrisp singolari (per es. se è armonica o equianarmo- 

 nica), esistono, oltre le dette H„2, altre involuzioni bir. identiche a C: come 

 può facilmente dimostrarsi per via trascendente ( 2 ). 



( J ) Ofr. per es. la mia Nota Sulle curve di genere due ecc. [Rend. Soc. Reale di 

 Napoli, 1911], n. 1. 



( a ) Per un esempio cfr. Severi, Sulle corrispondenze fra i punti di una curva, al- 

 gebrica ecc. [Mem. Acc. Torino, t. LIV (1904)2. n. 24. Cfr. anche Segre, loc. cit. 



