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Matematica. — Sopra le deformazioni continue delle superficie 

 reali applicabili sul paraboloide a parametro puramente immagi- 

 nario. Nota di L. P. Eisenhart, presentata dal Socio L. Bianchi. 



In una recente Memoria { l ) il prof. Bianchi ha portato un importante 

 contributo alla teoria delle superficie a curvatura costante negativa stabilendo 

 l'esistenza di una nuova classe di deformazioni continue di tali superficie e 

 mostrando che un sistema, il quale consiste di oo 1 di queste deformate, pos- 

 siede delle trasformazioni di Bàcklund in sistemi della stessa specie, affatto 

 analogamente come i sistemi di Weingarten di superficie pseudosferiche. In 

 seguito ( 2 ) egli sviluppò una teoria simile per superficie a curvatura costante 

 in geometria ellittica ed iperbolica. È noto ( 3 ) che, quando si applica il me- 

 todo di Weingarten ad una superficie pseudosferica in geometria ellittica, si 

 ottiene per quadrature una superficie nello spazio euclideo, che è applicabile 

 sul paraboloide 



(1) x 2 + ^ 2 + 2ù = 0 



a 2 



con parametro puramente immaginario. L'A. ha dimostrato che questa tras- 

 formazione ottenuta col metodo di Weingarten può essere estesa in modo 

 da venire applicata alle superficie di un sistema (2) in geometria ellittica, 

 quale è stato definito dal prof. Bianchi nella sua Memoria B, e con questo 

 mezzo egli ha stabilito l'esistenza di un'analoga teoria di trasformazioni 

 continue di superficie applicabili sul paraboloide (1). In questa Nota verranno 

 esposti soltanto i resultati di questa ricerca. Anzitutto noi richiamiamo alcune 

 formule dalla Memoria B. 



Sia S una superficie pseudosferica di curvatura assoluta K e di curva- 

 tura relativa — — , riferita ad un sistema ortogonale (u , v), per cui il suo 

 elemento lineare prende la forma 



(2) ds 2 — edu 2 -J- gdv 2 . 



Kiferendo i punti dello spazio ellittico ad un sistema di coordinate di 



(') Sopra una classe di deformazioni continue delle superficie pseudosferiche. 

 Annali di Matematica, serie III, tomo XVIII (1911), pag. 1 e sgg. 



( 3 ) Sopra le deformazioni isogonali, delle superficie a curvatura costante in geometria 

 ellittica ed iperbolica. Annali, serie III, tomo XVIII (1911). pag. 185 e sgg. 



( 3 J Ricerche sulla deformazione delle quadrighe. Rendiconti del Circolo Matematico 

 di Palermo, Tomo XXII (1906), pag. 3. 



