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Weierstrass, noi indichiamo con x 0 ,x l ,x 2 , x 3 le coordinate di un punto 

 F = (u , v) mobile su S, e rappresentiamo con 



( r /o , tfi . V* » ^s) , (to , £1 , £2 , £3) , (lo , £1 , fi., f 3 ) 



i coseni di direzione delle tangenti alle curve y = cost, « = cost su S e della 

 normale ad S in F ; questi sono cioè le coordinate di Weierstrass dei piani 

 del triedro parametrico. I coseni di direzione di una retta per Fj che formi 

 l'angolo costante « col piano tangente hanno la forma 



(3) f'^eosaseny.?;,- — cosacosyfj + senafi, (» = », 1,2, 3), 



dove 5p(w , y) indica l'angolo che la normale a questa linea, giacente nel 

 piano tangente, forma eolla tangente alla curva v = cost. È dimostrato che 

 la condizione necessaria e sufficiente affinchè la S ammetta una deformazione 

 infinitesima per la quale il punto F sia spostato nella direzione (3) della 

 distanza eh, dove e è una costante infinitesima, è che h e (p soddisfacciano 

 le equazioni differenziali 



Y e cos (p 1 — 4- r — f -j- sen y> =- } — 



( \ ov 1 y e Itti / 1 * -òv ) 



(4) j -|/,;sen^- + t/ -^ r j_cos^^-| + 2cotr t /,, = 0 



Inoltre, queste funzioni stanno nelle relazioni seguenti coi secondi coefficienti 

 fondamentali D , D' , D" di S : 



(5) D = y~e cot a\ cos 9 - ~= + S en <p ^ j 



e si hanno espressioni simili per D' e D"; queste espressioni soddisfanno le 

 equazioni di Codazzi e di Gauss in virtù delle (4). 



Per di più la linea nel piano tangente ad S in F, la quale è perpen- 

 dicolare alla direzione (3), definisce una trasformazione di Bàcklund di S 

 in una superficie S', la cui normale nel punto di contatto F ha la direzione 

 (3), e le cui coordinate sono date da 



(6) «'i = cos *. ai + sen cos y sen 9) («' = 0,1,2,3). 



Affinchè la deformazione sia continua, le funzioni D , D' , D" ; h,<p; x,r),£,l- 

 debbono contenere un parametro w, tale che sussistano le equazioni 



< 7) g-Viv^-fa,**-», ff-0.1,2,8) 



