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La condizione necessaria e sufficiente a ciò è che, oltre alle equazioni (4), 

 siano soddisfatte anche le seguenti 



(8) sen a = h n + keh , sen a ~ = h 12 -f- kfh , sen a ^-=] hi -U kgJu 



che sono scritte in forma invariantiva. Quando queste condizioni sono sod- 

 disfatte, le equazioni (7) definiscono un sistema triplo di superficie in geometria 

 ellittica tale che ciascuna delle superfìcie w = cost è una deformata continua 

 delle altre. Noi diciamo che le equazioni (7) definiscono un sistema di Bianchi. 

 Nello stesso tempo le equazioni (6) definiscono un secondo sistema di Bianchi, 

 che noi chiamiamo il sistema coniugato. Questa relazione è reciproca, cioè 

 il sistema (7) è il coniugato del sistema ottenuto per mezzo della (6) ( 1 ). 



Quando il metodo di Weingarten viene applicato ad una superficie pseu- 

 dosferica S in geometria ellittica, si trova una superfìcie reale 2 nello spazio 

 euclideo, le cui coordinate sono date da 



(9) dyi = Xi dx 0 + a 2 & d£ 0 (i = 1 , 2 , 3) , 



la quale è applicabile sul paraboloide (1), come si dimostra ponendo 



9 • «^0 ~\~ ^ ^fì 



x = x 0 , y = a 2 £ 0 , * = i - JL - L ^ '■ . 



Noi diciamo che le equazioni (9) definiscono un trasformazione W. I coseni 

 di direzione della normale a 2 sono proporzionali alle quantità A, definite da 



(10) Ai = £iVo — r]iC 0 



Sarà necessario definire due altre funzioni /? e y come segue 

 /? = — sen x Xq ~\~ cos t(cos y t] 0 -j- sen <p Co) 



(11) senr ' 



Y — £o — sen a(sen y r] 0 — cos y f 0 ) 



Coll'aiuto di queste noi stabiliamo il teorema: 



Se 2 è la trasformata W d'una superficie S, la superficie 2' le cui 

 coordinate sono date da 



(12) y\ = yi -f- sen — ayh) 



è la trasformata W della superficie S' che origina da S mediante la 

 trasformazione di Bàcklund determinata dalle stesse funzioni a ,t ,h ,<p; 

 e le superficie 2 e 2' sono le superficie focali d'una congruenza W. 



Affine di giungere a questo risultato noi effettuiamo un cambiamento 

 di parametri per S' cosicché i piani del triedro paramedico debbono avere 



C) Il prof. Bianchi dice che in questo caso il secondo sistema è ottenuto dal primo 

 con una trasformazione singolare. 



