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possiamo assumere 



(6) — 



Per i = 1 , 2 , w le >l<- r) (r = 1 , 2 , ... n) costituiscono i sistemi coordinati 

 controvarianti delle congruenze appartenenti alla ennupla principale (in questo 

 caso unica e determinata) della V„ . Le radici Qi , q 2 , - Qn della equazione 

 caratteristica sono poi gli invarianti principali della V w stessa ( l ). 



Si osservi ora che il numero degli invarianti assoluti indipendenti co- 

 muni alle forme <p ed P è 



2 à 



e che esso risulta eguale ad n per n = 3, maggiore di n per n > 3. Perciò 

 per n — 3 gli invarianti principali costituiscono un sistema completo di in- 

 varianti differenziali di 2° ordine per la forma <f . Nel caso di n > 3 il 

 problema di determinare un tale sistema è invece ancora da risolvere. 

 Poniamo 



(7) Yih,jh — 2rstu Ct r t,su ^P ty S) ^h* ^ft"' 



(8) Yhh = 2i Yih,ik 



^i/r — &rs ' • 



Dalle (1) e (2) seguono le 



(9) Yih,jh = — YhUjk = — Yih,hj 



(10) Yihj* + Yi*,hj + Yij, hh = 0 

 e quindi le 



Yihjk = Yjk,ih i 



da cui le 



Yhh = Ykh ■ 



Le (7), il cui numero è eguale ad N , sono risolubili rispetto alle a r t,su 

 equivalendo esse alle 



(7') Ctrt,su — ^ih,jk Yih,jk hlr fyft ^h/ 1 ^-k\u i 



e però le Yih,jk da esse definite considerate come funzioni delle a r t,s» sono 

 fra loro indipendenti. 



Se si osserva di più che dalle (4) e (T) seguono le 



«rs = 2 h k Yhk ^h\r h/s 



(') Cfr. Kicci, Direzioni ed invarianti principali di una varietà qualunque. Atti 

 del R. Istituto "Veneto di Scienze Lettere ed Arti, tomo LXIII, pag. 1233. 



