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 e si ricorda che la sostituzione lineare 



^■1/1 



^1/2 • 





X i / 1 



A-2/2 • 



• ^2/m 





X n i 2 . 





riduce ad espressione canonica la forma f si stabiliscono le relazioni 



( 12) 2 i 7ih,ik = 0 (A 4= A); 



di cui queste ultime, in numero di , i eg ano fra di loro le 7ih , Jk . 



E poiché dalle (7), stante la natura controvariante delle Xf\ risulta che esse 

 sono invarianti assoluti, si conclude che esse ci forniscono un sistema com- 

 pleto di invarianti assoluti comuni alle forme <p ed F. 



2. Gli elementi di questo sistema non sono però fra loro indipendenti, 

 poiché tra essi hanno luogo le relazioni (9), (10) e (12). Di più essi sono irra- 

 zionali nei coefficienti delle forme g> ed F, in quanto le loro espressioni con- 

 tengono le X?\ e queste per le (6) si esprimono per la radice Qi della equa- 

 zione caratteristica. 



Si tratta ora di costruire colle y ihìjk un sistema completo di invarianti 

 razionali tutti fra' loro indipendenti, e però in numero di N — D ; 



il cui carattere invariante, appunto per la loro natura razionale, sarà indi- 

 pendente dalla ipotesi restrittiva fatta sopra circa la natura della equazione 

 caratteristica. I risultati, a cui giungeremo, varranno quindi per tutte le 

 forme differenziali quadratiche definite. 



Costruiremo perciò colle y ih , jH delle funzioni razionali simmetriche delle 

 radici della equazione caratteristica, e a questo intento gioverà osservare: 

 1°) che per le (5) e (6) sono razionali nelle ?l , Qì , ... , Qn i qua drati 

 delle Yih,jk ed, in generale, tutti i loro prodotti nei quali ogni indice appaia 

 un numero pari di volte ; 



2°) che sono simmetriche rispetto alle Ql , Qtt ... , Qn tutte le funzioni 

 dell e Yihjh simmetriche rispetto agli indici 1,2,...». 



Premesso ciò, designamo con (ihjk) una combinazione a quattro a 

 quattro, anche con ripetizione, di questi indici e formiamo le funzioni ele- 

 mentari simmetriche dei tre invarianti Ym,j* , Ymj , Yìj,**. Osserviamo che. 

 per le (10) quella di 1° grado risulterà identicamente nulla, e designamo 

 quelle di 2° e 3° grado rispettivamente con u ihjk e p ihJh ; poniamo cioè 



^ 13 ) "W* = yihjh Ym,hj + Yihjk Ymn + Yi^hj YijM 



( 1 4 ) Piti* ~ Yih,jh YiKhj Yij,m • 



