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Per quanto fu sopra osservato le a ihjìl e la $ h j k sono razionali nelle radici 

 della equazione caratteristica ; ed è poi facile riconoscere, avendo presenti 

 le (9), che esse sono simmetriche rispetto agli indici i . h,j ,k. Di più 

 per le 



(15) Yujk = Yih,jj = 0 , 



che seguono dalle (19), sono identicamente nulle le che non abbiano 



almeno tre indici distinti, e le fasti, nelle quali anche due soli indici coin- 

 cidano. Essendo poi 



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a iMk — lfih,ik 



si riconosce che, designando in seguito con {ihjk) una combinazione sem- 

 plice qualunque della classe quarta degli indici 1 ,2 , ... , n, al sistema di 

 invarianti irrazionali Yih,jh legati fra di loro dalle relazioni (9) (IO) e (12), 

 si può sostituire quello che risulta 



A) delle y !A)tft in numero di n(n — 1) : 2 



B) delle yìh,ni in numero di n(n — 1) (n — 2) : 2 



C) delle aihjit in numero di n(n — 1) (n — 2) (n — 3) : 24 



D) delle p%j h in numero di n(n — 1) (n — 2) (n — 3) : 24 . 



Avremo così in tutto N invarianti razionali nelle radici della equazione 

 caratteristica legati fra di loro dalle sole relazioni (12), le quali concernono 

 soltanto gli invarianti del gruppo B e sono in numero di n(n — 1):2, e sarà 

 opportuno sostituire ad essi un sistema di n(n — 1) (n — 3) : 2 tutti invarianti 

 fra loro indipendenti. Ciò si ottiene nel modo che segue. 



Si osservi che alle y* A ,; ft si possono sostituire le y&,« combinate secondo 

 i criteri già esposti, in modo da avere delle espressioni razionali nelle radici 

 della equazione caratteristica. Si Assi ora una qualunque combinazione (hk), 

 semplice e di seconda classe, degli indici 1,2,3, n e delle Yih,ih » il cui 

 numero per le (15) si riduce ad n — 2, si costruiscano le funzioni simme- 

 triche elementari. Per le (12) saranno identicamente nulle quelle di primo 

 grado ; per le rimanenti cioè per m = 2 , 3 , ... n — 2 indichiamo con B^ 

 quelle di grado m , cioè poniamo 



B $ = X yih ^ folk 

 (fj) 



B$ = y_ Yih,ih Yjhjk Ygh,gk 



intendendo le sommatorie estese a tutte le combinazioni semplici e rispet- 

 tivamente delle classi 2 a , 3 a , ... degli indici 1,2,... n. Con B m desi- 



