— 532 — 



gnamo poi l'insieme delle Bjg o quello dei loro quadrati, secondo che m è 

 pari o dispari. Ciascuno dei gruppi B„, conterrà n(n — 1): 2 invarianti razio- 

 nali nelle radici della equazione caratteristica, ed avremo così in tutto 

 n(n — 1) 0 — 3) : 2 invarianti tutti fra loro indipendenti, che potranno pren- 

 dere il posto di quelli del gruppo B. 



Riassumendo, gli invarianti appartenenti ai gruppi A , C, D , B 2 , B 3 , ... 

 B„_ 2 , costituiranno, per la quadrica differenziale un sistema completo e 

 non esuberante di invarianti differenziali di 2° ordine, razionali nelle radici 

 della equazione caratteristica. E se con essi costruiremo comunque altrettante 

 funzioni intiere, tutte fra loro indipendenti e di più simmetriche rispetto agli 

 indici 1 , 2 , ... , n, avremo costruito un sistema completo di invarianti diffe- 

 renziali di 2° ordine per la quadrica differenziale g>, che potrà essere qua- 

 lunque, purché definita. 



Nella effettiva costruzione di tali funzioni sarà tuttavia opportuno pro- 

 cedere separatamente per ciascuno dei sistemi parziali (tutti invarianti ri- 

 spetto al gruppo simmetrico di grado ri), nei quali il sistema completo degli 

 invarianti irrazionali, precedentemente costruito, è risultato decomposto. 



3. Per n = 2 abbiamo da considerare il solo gruppo A , che risulta 

 del solo elemento y ì2<12 , che è razionale nei coefficienti di <p e nelle loro 

 derivate e coincide coli' invariante di Gauss. 



Per »=*3 abbiamo ancora il solo gruppo A, costituito però in questo 

 caso di tre elementi, che si possono fare corrispondere uno per uno ai tre 

 indici 1,2,3, e che coincidono cogli invarianti principali della varietà, 

 la cui metrica è definita da Il sistema completo degli invarianti razio- 

 nali è dunque costituito dalle loro funzioni simmetriche elementari. 



Per n > 3 si può ottenere un sistema completo di invarianti razionali 

 costruendo separatamente per ogni gruppo parziale di invarianti irrazionali 

 le funzioni elementari simmetriche dei suoi elementi; ma tale metodo non 

 sarà in generale il più opportuno. Per esempio, poiché gli invarianti y ih<ih 

 del gruppo A corrispondono uno per uno alle combinazioni semplici di 

 2 a classe di n oggetti, perchè delle espressioni intiere nelle y ih , ih siano inva- 

 rianti rispetto al gruppo simmetrico G n di grado n , è necessario e basta che 

 esse lo siano, non rispetto all' intiero gruppo simmetrico di grado n(n — 1) : 2, 

 ma rispetto ad un sottogruppo di questo isomorfo a G n . E la stessa cosa 

 vale anche per gli elementi di ciascuno dei gruppi B 2 , B 3 , ... , B n _ 2 . 



Quanto ai gruppi C e D, per » = 4, essi risultano ciascuno di un solo 

 invariante, che è razionale. Per n > 5 perchè delle espressioni intiere negli 

 elementi del gruppo C (o D) sieno invarianti rispetto a G„, non occorre 

 che esse lo siano rispetto all'intiero gruppo simmetrico di grado n(n— 1) 

 (n — 2) («— 3): 24. E invece necessario e basta che lo siano rispetto ad un 

 sottogruppo in questo contenuto, che è isomorfo a G n , e che, soltanto per 

 n = 5, coincide col gruppo totale. 



