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Matematica. — Sugli integrali curvilinei del Calcolo delle 

 Variazioni. Nota II di Leonida Tonelli, presentata dal Socio 



S. PlNCHERLE. 



L Ci proponiamo di dimostrare qui una proposizione già annunciata 

 nella Nota I, e che ci sembra notevole. Ne faremo poi alcune applicazioni. 



2. Consideriamo, insieme alla C , un'altra curva Ci , interna essa pure 

 al campo A (*) e continua e rettificabile. Indicando con 



^{x,y,af,tf)ds , fjix ,y»x',y r )ds 



gli integrali della funzione F estesi alle due curve, vogliamo dimostrare che 



Se la curva d tende alla C ( 2 ) in modo che la sua lunghezza tenda 

 alla lunghezza di quest'ultima, è 



f~ 0 L F ^ ' 9> ' ds== Jc" 1 ^ m ' ' y') ds - 



Riprendendo la funzione ¥(x , y , x' , y') del n. 4 della Nota I, possiamo 

 applicarle il teorema del n. 27 della Memoria (T) ( 3 ) e scrivere 



( f(x,y,x', y') ds < Min lim | ¥(x,y,x', y') ds . 



Ed essendo 



F(z , y , x' , y') = ¥(x , y , x' , y') + m \/x n + y'* , 



abbiamo 



) F{x,y ,x' ,y')ds + m \ ]/x n + y n ds < 

 Jc j c 



< Mim lim ! ¥{x , y , a' , /) ds -f- m f fa* + y'* ds ì . 



Ci=C ' ' C ' -'Ci ) 



(') Conserveremo qui tutte le notazioni della Nota I. 



(°) Per tutto ciò che si riferisce alla convergenza di una curva verso un'altra, vedi 

 M. Fréchet, Sur quelques pointt du calcul functionnel. Rend. Circ. Matem. di Palermo, 

 tomo XXII (1906). Ricordiamo che condizione necessaria e sufficiente affinchè C, tenda 

 a C è che esista una rappresentazione simultanea delle curve C e Ci 



x = x(t) , y = y(t) 



in modo che le % x (t) , y t (t) tendano uniformemente e rispettivamente alle x(t) , y(t). 



(*) Veramente il teorema, al luogo citato, è dato solo per una successione di curve: 

 la dimostrazione però può ripetersi tal quale anche nel caso generale. 



