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Da questa disuguaglianza e dalla (1), concludiamo che esiste il limite del- 

 l' integrale I F ds , quando d tende a C , nel modo detto, e che è 



(2) lim [Fds= [¥ds. 



c,=c - / °t 'e 



Il nostro teorema è dunque perfettamente dimostrato. 



3. Si potrebbe essere indotti a credere che il tendere a zero della dif- 

 ferenza delle lunghezze delle curve C, e C, al tendere di C, a C, sia condi- 

 zione, oltre che sufficiente, anche necessaria perchè si verifichi la uguaglianza 

 (2) (tranne naturalmente il caso della F = 0). È facile però convincersi del 

 contrario. Si prenda 



F(x , y , x' , y') 



x' z 



Vx'> + y'* 



e come curva C il segmento rettilineo che unisce i punti del piano (x , y) 

 di coordinate (0 , 0) , (1 , 0). Si costruisca la C, congiungendo questi due 



punti con una spezzata di 2n lati, tutti di lunghezza alternativamente 



2n 



perpendicolari e paralleli a C , e così disposti che quelli perpendicolari ab- 

 biano sempre un estremo in C. È allora 



f - — X ds= f ds «= 1 

 ; c ]/ x '--\-y' ì h 



r , x * ds= r x ,2 ds=i . 



In questo caso, la (2) è dunque verificata, mentre è: lunghezza di Ci = 2 = 2. 

 lungh. C . 



4. Dal teorema del n. 2 deduciamo questo corollario: 



Se una linea C si deforma con continuità, in modo da conservare 

 sempre la stessa lunghezza, l'integrale della funzione F, esteso alla C, 

 varia pure con continuità. 



5. Un'altra proposizione vogliamo ora dedurre da quella del n. 2. È 

 necessario però premettere il seguente lemma: 



Se le funzioni s n (%), tutte non decrescenti, convergano, per n~<x>, 

 in ogni punto di (a , b) verso una funzione continua s{x), la convergenza 

 è uniforme. 



Preso un numero positivo *, sia S tale che dalla disuguaglianza 

 \X\ Xi | <C à (%i e Xi punti di (a , b)) si deduca sempre 



s(xi) — s{x 2 ) |<«. 



