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Si divida (a , b) in un numero r di parti tutte < à. È possibile, per 

 la convergenza delle s n {x), determinare un numero n tale che, per ogni 

 n ]> n , sia 



\s(x) — s«(#)|<* 



in tutti gli r -f- 1 estremi di queste parti. È allora, indicando con x x e x 2 

 gli estremi di una parte qualunque, e con x un punto arbitrario compreso 

 tra essi, 



|s(£Ci) — s(#)|0 , |s(<r 2 ) — s(tf)|< e 



*(05i) — « < S n («i) Sn(^) ^ S n (x 2 ) < «(aS s ) + « 



s(x) — 2« < s n (£c) < s(cc) -f- 2« 

 |s(aj) — «»(a)|< 2e 



e ciò per tutti gli « > « e tutti i punti di (a , b). Il lemma è così dimo- 

 strato. 



6. Possiamo, dopo ciò, dimostrare il teorema di convergenza che segue. 

 Sia f(x ,y,p) una funzione delle tre variabili x ,y ,p , tale che 



x'f(x ,y ,^ = F(x,y,,x ,y') 



soddisfi alle condizioni poste per la F ai numeri precedenti ; siano poi y(x), 

 y(x) due funzioni date nell' intervallo {a , b) ed ivi assolutamente continue. 

 Allora 



Se la y(x) tende uniformemente in {a , b) alla y(x) e I Vi + y\x)dx 



J a 



tende a \ Vl-{- y'{x) dx , «7 ^n'mo dwé? integrali 



'a 



ras Ca> _ _ 



f(x , , y'(x)) dx , ( /(a? , y(x) , /(a?)) rfa; 

 y 0 J a 



tende uniformemente, in tutto {a , b), al secondo. 



Per l'assoluta continuità delle funzioni y(x),y(x): 1°, esistono in tutti 

 i punti di (a , b), ad eccezione al più di un insieme di misura nulla, le 

 derivate y'(x) , y\x) {') ; 2°, esistono gli integrali 



PVl + W) <te , fVl-tr jfl)^ 



e rappresentano, rispettivamente, le lunghezze delle curve y = y(x) , y = y{x), 

 nell' intervallo (a , x) ( 2 ) ; 3°, esistono gli integrali che stiamo per scrivere 



t 1 ) Vedi H. Lebesgue, Lecons sur l'integration ecc., pag. 128. 

 (*) Vedi L. Tonelli, Sulla rettificazione delle curve. Atti della R. Acc. delle Scienze 

 di Torino, 1907-08. 



