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e valgono le uguaglianze 



(3) 



\ I A* - y « y') ^ = F(ar(«) , , , ds 



) a J s(a) 



I A« . y . fi dx = I F(ar(a) , y(s) , F(s) , y'(s)) ds (M. 

 Inoltre, perchè per ipotesi è 



lim ^]/\J r J{x)dx= fVl + jF'(^}~^, 



y=y a y ° 



è anche, per ogni x di (a , è) 



lim fVl + {y'(^)P ^ = fVl + irW ^ • 



y=y a J * 



Ciò risulta subito osservando che è 



Min lina PVì + {y'W ^ ^ fVl + |y»t 2 dx 



u—.i a J a 



y=y 



Min lina fl + \i,'(x)\*dx> fl + \?{x)\*dx. 



y=y x J x 



Applicando il lemma dimostrato al n. precedente, si ha anche che la 



rtc 



convergenza dell' integrale yl + \y\x)\* dx è uniforme in tutto (a , b). 



J a 



Per il teorema del n. 2 si ha poi 



lim F(« , y , x' , y') ds = * * F(x , y , W , y') ds . 



y=y 7s <°> Jìw 



Anche qui la convergenza^ è uniforme. Invero, le s(x), poiché convergono 

 uniformemente verso la J(x), costituiscono una varietà di funzioni ugual- 

 mente continue in (a,b): sono tali cioè che, preso un s arbitrario, si può 

 sempre, in corrispondenza, determinare in à per il quale, dalla disuguaglianza 

 Ni — X2\<ó, con a?i ,x 2 punti di (a, è), scende l'altra 



qualunque sia la .<?(» della varietà. Osserviamo, ora, che nei punti (x , y) 

 nei quali si considera la F e in quelli (x r , y') della circonferenza x'*-t-y' z =l, 

 la F stessa è continua e quindi in modulo resta inferiore ad un numero 

 fisso M j^e ^ricordiamo che i punti dell'intervallo (s(a) , s(b)) in cui non è 

 x '( s ) + y'(s) = 1 costituiscono un insieme di misura nulla, insieme che, 



(') Cfr. L. Tonelli, Sugli integrali curvilinei. Eend. Acc. Lincei, febbraio 1911. 



