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come si sa, è perfettamente trascurabile agli effetti dell'integrazione. Pos- 

 siamo scrivere, perciò, 



F{x , y , x , y') ds — F(# , y , x , y ) ds 



Sstai -A(a) 



's(a) 



F(# ,y,x',y') ds 



Gli integrali 



rs<.x) 



's(a) 



<|«(a;i)— s(xz)\ M < «M 



F(x , t/ , , «/') 



risaltano così ugualmente continui in (a , b) . Ciò basta per essere sicuri 

 della loro convergenza uniforme. 



Tenendo conto delle uguaglianze (3), il teorema propostoci risulta in- 

 teramente dimostrato. 



7. Facciamo un'altra applicazione del teorema del n. 2. 



Si debba risolvere il seguente problema — detto degli isoperimetri — : 

 fra tutte le curve C ('), giacenti in un dato campo ed aventi tutte la stessa 

 lunghezza, trovare quella che rende minimo (o massimo) l' integrale 



, c F(x,y ,x\ y') ds 



Si determini il limite inferiore (o superiore) I dei valori che l'inte- 

 grale assume per tutte le possibili curve 0, e si scelga una successione 

 Ci , Co , ... di tali curve in modo che sia 



lim F ds = I . 



M=co J Cn 



Le curve C„ , avendo tutte la stessa lunghezza, ammettono, per un noto 

 teorema, una curva limite C. Se allora è possibile dimostrare (*) che la 

 lunghezza della C (che non può essere maggiore) è precisamente uguale a 

 quella delle C„ , il teorema del n. 2 mostra che è 



F ds = lim ¥ds = l, 



il—co J C n 



vale a dire, stabilisce l'esistenza del minimo (o massimo) di cui qui è que- 

 stione. 



Il metodo ora usato si applica anche alla risoluzione del problema ge- 

 nerale di minimo (massimo) : trovare, fra tutte le curve di un dato campo, 

 quella che rende minimo (massimo) l'integrale della F. Solo qui si deve 

 aggiungere in più la dimostrazione dell'esistenza di una curva limite pel- 

 le C. , C 2 , ... , determinate come dianzi. 



( l ) Si potrebbe considerare anche solo una classe speciale di tali curve. 

 ,a ) In taluni casi la dimostrazione è immediata. 



