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modo che la proprietà a) venga conservata, però le traiettorie dei singoli 

 punti, invece di tagliare ad angolo retto le superficie pseudosferiche, le 

 taglino sotto un angolo costante qualunque. 



Denotando con — — a il valore costante di questo angolo, indicheremo 



ù 



questi sistemi di superfìcie pseudosferiche come sistemi (i2 w ) ; per e = 0 

 abbiamo i sistemi di Weingarten. 



Un primo e più semplice esempio di sistemi (Sìa) si ha nelle oo 1 su- 

 perfìcie pseudosferiche S' che derivano da una fissa S per una trasforma- 

 zione B a di Bàcklund; queste S' formano appunto un sistema (Sì a ), colla par- 

 ticolarità che qui le traiettorie dei singoli punti sono circoli dello stesso 

 raggio (= B, cos <r). 



Un altro singolare esempio di sistemi (Sìa) viene fornito dalle generali 

 elicoidi pseudosferiche. Ho dimostrato (') che ogni tale elicoide, assoggettata 

 ad un conveniente moto elicoidale attorno al suo asse, gode della proprietà 

 caratteristica di tagliare sotto angolo costante le eliche traiettorie dei suoi 

 punti. Per ciò il sistema delle oo 1 posizioni di questa elicoide è appunto 

 un sistema (Sìa)- 



2. I sistemi generali (Sìa) di superficie pseudosferiche comprendono, 

 come si è detto, quali casi particolari, i sistemi (W) di Weingarten ai 

 quali si riducono per (7 = 0. Ma ciò che più importa osservare è che, in- 

 versamente, i sistemi generali (Sì a ) si ottengono dagli speciali (W) di Wein- 

 garten applicando a questi ultimi la così detta trasformazione L a di Lie. 

 Conviene ricordare che questa trasformazione L 0 risulta dalle osservazioni 

 seguenti. Le superficie pseudosferiche (il cui raggio R assumiamo per sem- 

 plicità = 1) dipendono biunivocamente dalle soluzioni g>(u,v) della equa- 

 zione a derivate parziali 



i r\ — ^ — — ^ = sen (f cos tp 



ogni tale soluzione (p individua intrinsecamente una corrispondente super- 

 ficie pseudosferica, che possiamo indicare con S<p, mediante l'espressione 



ds 2 = cos 2 y du 2 + sen 2 ^ dv 2 



del suo ds 2 riferito alle linee di curvatura (u , v). Si deve a Lie l'osserva- 

 zione che: da una soluzione nota g>{u,v) della (I) se ne ottiene subito una 

 nuova <p(u,v) con una costante arbitraria <r, ponendo 



tu — v sen a v — u sen o" \ 



sp(^ i ^) = <p [—^ ' ; • 



( ! ) Ved. il § 9 della mia Memoria: Sopra una classe di deformazioni continue 

 delle superficie pseudosferiche, Annali di mat., ser. ìli, tomo 18 (1911). 



