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Così la superficie pseudosferica S«, ne individua una seconda , che 

 si dice derivata dalla prima per mezzo della trasformazione L a di Lie. Il 

 significato della L 0 resta però in questo puramente analitico, giacché la 

 trasformata non ha colla primitiva S<p un rapporto di posizione necessa- 

 riamente fissato, che si traduca in ima costruzione geometrica nello spazio 

 (come avviene per la trasformazione complementare e di Bàcklund). 



Tanto più notevole sembra quindi che la trasformazione L a di Lie venga 

 ora ad acquistare un significato geometrico nel passaggio dai particolari si- 

 stemi (W) di Weingarten ai generali (i2 0 ). E in effetto: se di ciascuna 

 superficie pseudosferica S del sistema di Weingarten si prende la trasfor- 

 mata S per una medesima L„, queste oo 1 trasformate S, convenientemente 

 collocate nello spazio, vengono appunto a costituire un sistema (Sì a ). 



Per tal modo le questioni concernenti l'esistenza ed il grado di arbi- 

 trarietà dei sistemi (iì a ) vengono ricondotte alle questioni analoghe già riso- 

 lute pei sistemi (W) di Weingarten. 



Aggiungiamo ancora che ai generali sistemi (i2 0 ) risultano applicabili 

 la trasformazione complementare e quella di Bàcklund, come accade pei 

 sistemi di Weingarten. 



Riserbandomi di sviluppare in una prossima Memoria la teoria generale 

 sopra indicata, mi limiterò qui a considerare un caso particolarmente note- 

 vole di sistemi (S2 G ), dedotti con trasformazione di Lie, nel modo sopra de- 

 scritto, da quei singolari sistemi di Weingarten che ho chiamato: sistemi 

 a flessione costante. 



3. In questi ultimi sistemi, di cui trattano i paragrafi 6, 10 della mia 

 Memoria del 1885 ( : ), le traiettorie ortogonali delle superficie pseudosferiche, 

 di raggio B=l, hanno appunto la flessione costante =1. Tali sistemi si 

 presentano sempre a coppie di sistemi complementari, corrispondenti alle 

 rispettive forme: 



dell'elemento lineare dello spazio, riferito al sistema triplo ortogonale (u,v,w). 

 Le funzioni 4>(u\v ,w) , &(u,v,w) delle tre variabili u,v,w (soluzioni 

 della (I)) soddisfano al sistema caratteristico di equazioni a derivate par- 

 ziali : 



(a) 



cos & sen Q> 



(*) Ved. anche Lezioni, voi. II, § 441. 



