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i coseni di direzione, in ogni punto (x , y , z) di Sy , delle tre direzioni 

 principali (tangenti alle linee di curvatura v , u e normale alla superfìcie). 

 Allora, per definire la opportuna collocazione delle oo 1 superficie Scp nello 

 spazio, sì che vengano a costituire un sistema (Sì<,), troviamo il seguente 

 sistema di equazioni : 



— — = -^-X,, — senyXs , — = ^- X 2 , 



"^X, Tìcp „ . Dee ^. 

 = — sen a X 2 — cos <r cos 0 — — X 3 : 



~òw ~òw ~òw 



(2) 



^)X 2 l)(p „ DX 2 „ . v 



— - = — — X, , = — — X! + cos <p X 3 , 



ìu ~òv 7>y Da n y 



Ì)X 2 7)y v „ 7>9> „ 

 sen <r 1 — — a x — cos a sen 6 — — X 3 : 



~ÒW 1)W ~ìw 



7)X 3 „ 1)X 3 „ 

 — sena>Xi , = — cosa>X 2 , 



— cos a cos 0 — — Xi 4- cos e sen 0 — — X 2 ; 



~òw ~~àw ~òw 



ove omettiamo di scrivere le analoghe per Y , Z . 



Si verifica subito che. soddisfacendo y> , 0 alle (A) , (B) , (C), le (2) 

 formano un sistema ortogonale illimitatamente integrabile. Ottenuti, colla 

 integrazione del sistema (2), i nove coseni di direzione, si hanno per qua- 

 drature x ,y .. s dalle formule 



~~òX „ ~òX v 



— — cos te Ai , — = sen q> X 2 , 



= cos a j sen a sen 0 Xi — sen a cos 0 X 2 — cos a X 3 1 , 



~òw 1)W 



colle analoghe per y,z, le condizioni di integrabilità essendo identicamente 

 soddisfatte, a causa appunto delle (2) e delle (A), (B), (C). 



Ora, se dalle (3) calcoliamo l'elemento lineare ds dello spazio in coor- 

 dinate (u , v , w) colla formola 



ds 2 =Sdx* = dx 2 + dy 2 + ate 2 , 



troviamo subito 



g^' 2 = cos 2 <p du 2 -\- sen 2 </> dy 2 -)- cos 2 <r l — \ e^ 2 -}- 



( 4 ) 



+ 2 sen o" cos a sen 0 cos q> du dio — 2 sen a cos <r cos 0 sen <c — dv dw. 



