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Questa ci dimostra che le superfìcie pseudosferiche Scp , così fissate di posi- 

 zione nello spazio, formano in effetto un sistema (Sìa), poiché: 



1°) si corrispondono sulle Stp le linee asintotiche ad eguale lunghezza 

 d'arco (e le linee di curvatura); 



2°) le trajettorie (tv) dei singoli loro punti (u , v) tagliano queste 



TX 



superfìcie S«p sotto l'angolo costante — — cr. 



5. Costruito così il primo sistema (Sìa) corrispondente alla soluzione cp, 

 possiamo ora trovare l'altro (Sìa) corrispondente alla soluzione 0, senza alcun 

 calcolo d'integrazione, mediante le forinole 



(5) x — x — cos <r(cos 6J. l -f- sen 0X 2 ) 



e analoghe per y ,s, colle quali da ciascuna superfìcie Scp di (Sì a ) passiamo 

 alla corrispondente Se dell'altro sistema (Sì a ) precisamente con una trasfor- 

 mazione B<r di Backlund. Questo dimostriamo derivando le precedenti (5) 

 rapporto ad u,v,w, ciò che dà, avuto riguardo alle (2), (3) ed alla (A), 



~òx 



~ÒU 



cos 6 j(cos 8 cos (f — sen a sen 6 sen y) X x -}- 



-j- (sen 6 cos cp + sen rr cos 6* sen cp) X 2 -|- cos e sen cp X 3 \ 



(6) / = sen 6 j(cos 6 sen cp -f- sen a sen 6 cos cp) X t -f- 



-f- (sen 0 sen cp — sen e cos 0 cos cp) X 2 — cos a cos cp X 3 { 



= cos <r (sen OXi — cos 0 X 2 ) , 

 da cui deduciamo per ds 2 = Sdx 2 



/ \ 2 



Js* - C os 2 0 du 2 + sen 2 » dv 2 + cos** ( ) dio 2 — 



7)0 



— 2 sen cr cos cr cos 0 sen 95 du dw -j- 



7)0 



4- 2 sen cr cos cr sen 9 cos cp dv dw . 



1 ~~òw 



Questa è la (4) stessa, ove si cangi cp in 0, e 0 in n -f- cp, ciò che dimo- 

 stra la nostra asserzione. 



Così adunque: / due sistemi (Sìa),(Sìa) si deducono l'uno dall'altro 

 colla trasformazione B<j di Backlund; li diremo sistemi coniugati. 



In particolare se si fa cr = 0, la B a diventa la trasformazione comple- 

 mentare e i due sistemi coniugati (Sìa) , (Sìa) vengono a coincidere coi due 

 sistemi complementari di Weingarten a flessione costante (W) , (W). 



