6. Si riconoscono altre interessanti proprietà di questi sistemi (S2 a ) stu- 

 diando le traiettorie (io) dei singoli punti delle loro superficie pseudosferiche. 

 Per la terza delle (3), l'elemento d'arco ds di queste curve è 



ds — cos a dio , 



ed i coseni di direzione a , /? , y della sua tangente sono dati da 

 a = sen a sen 6 X x — sen a cos 0 X 2 — cos <s X 3 , 



colle analoghe per /? , y. Indichino ancora, come al solito, % , r] , £ i coseni 

 di direzione della normale principale, X , \i , v quelli della binormale della 



curva stessa, infine - la prima curvatura, \ la seconda curvatura. Deri- 

 q T 



vando le precedenti rapporto a w, e ricorrendo alle formolo di Frenet, risulta 



Ìa = sen e sen 0 Xi — sen e cos 0 X 2 — cos e X 3 

 £ = cos0X, + sen0X 2 

 A = cos g sen 0 X t — cos e cos 0 X 2 sen a X 3 , 



colle analoghe, e successivamente 



1 7>w 1 



- = tg a — — - 



q l)(p COS o" 



DO 



1 _ "Sw; 

 ~òw 



Da queste ultime segue che le due curvature * , ^ sono legate dalla rela- 

 zione lineare a eoefficienti costanti 



sen e cos e , 



(8) . "i r =1; 



troviamo quindi la seguente notevole proprietà: 



iVé?#^' attuali sistemi (J2„) le curve (w), traiettorie sotto angolo eo- 

 stante delle superficie pseudosferiche, sono curve di Bertrand della me- 

 desima famiglia (9). 



Osserviamo che, per le (7 2 ), le normali principali di queste curve di 

 Bertrand sono precisamente le congiungenti i punti corrispondenti (x , y , z), 

 (73 j f\ s) di due superficie pseudosferiche corrispondenti nei sistemi eoniu- 



(8) 



