da ogni sistema noto (Sìa) si deduce una semplice infinità di nuovi sistemi 

 (Sì'a) complementari di (Sìa), mentre per <r = 0, cioè pei sistemi di Wein- 

 garten, questi oo 1 sistemi complementari (Sì'a) vengono a coincidere in uno 

 solo ('). 



Abbiasi una coppia di tali sistemi coniugati (Sìa) , (Sìa) corrispondenti, 

 secondo le forinole dei numeri precedenti, alle due funzioni g> , 6, legate fra 

 loro dalle equazioni caratteristiche (A), (B), (C) n. 4. Di ciascuna superficie 

 pseudosferica S del sistema (Sìa) prendasi una trasformata complementare S r 

 definita dalle formo! e 



(10) x' = x -j- cos (p' X 2 -f- sen </>'X 2 , 



dove la funzione g>'(u ,v,w) soddisfa alle equazioni della trasformazione 

 complementare 



\ — 2 - + — — — cos g> sen g> 



(« 



i v, v 



1 — — = — sen g> cos </>'. 



La soluzione più generale y>' della (a) contiene una funzione arbitraria 

 di w e, volendo scegliere questa in modo che le oo 1 superficie S' corrispon- 

 denti formino un nuovo sistema (Sì'a), si trova essere coedizione necessaria 

 e sufficiente che, insieme alle (a), sia soddisfatta anche l'altra 



(jff) sen(r^- = [l-)-cos(rcos(g>' — «)] — . 



Se si considera il caso generale e =(= 0 , si constata facilmente che il 

 sistema (a), (/S), a causa delle (A), (B). (C), è illimitatamente integrabile, 

 e quindi la sua soluzione generale cp'(u , v , w) contiene una costante arbi- 

 traria. Così adunque : 



Ogni sistema (Sìa), che non sia un particolare sistema di Weingarten, 

 dà luogo per trasformazione complementare ad oo 1 nuovi sistemi (Sì'a) 

 della medesima specie. 



Il caso a = 0 quando il sistema (Sìa) si riduce ad un sistema di Wein- 

 garten a flessione costante è veramente un caso singolare, ove gli oo 1 sistemi 

 complementari trasformati (Sì' a) vengono a coincidere nell'unico complemen- 

 tare (W). La forinola (/?) rende appunto ragione di questa singolarità, poiché 

 quando sen <r = 0 ne risulta q> — 6 -f- n e le (10), riducendosi all'unica 



x' — x — cos ti X, — sen ti X 2 , 

 definiscono l'unico sistema complementare (W). 



f 1 ) Si presenta dunque qui pei generali sistemi (Q a ), che non sì riducono a sistemi 

 di Weingarten, la medesima circostanza come pei sistemi di deformate isogonali della 

 pseudosfera (Cfr. la mia Memoria nel tomo 18, ser. Ili degli Annali). 



Rendiconti. 1912, Voi. XXI, 1° Sem. 81 



