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Matematica. — Sulla commutabilità del segno lini col segno 

 integrale, nei campi finiti. Nota dell' ing. Giovanni Giorgi, pre- 

 sentata dal Socio V. Volterra.. 



Vale un teorema, che consegue come immediata combinazione di risul- 

 tati già conosciuti, ma che forse non è generalmente abbastanza noto sotto 

 la forma definitiva che lo riassume, cioè : In ogni campo finito, l'integrale 

 del limite è uguale al limite dell'integrale', in termini più particolareg- 

 giati, « Se una funzione f n {oo) varia dipendentemente da un indice n, mante- 

 * nendosi sempre integrabile L ( 1 ), e sempre compresa tra limiti finiti fissi 

 « (cioè indipendenti da # e da n), e se per n — oo , il valore della f n {%), 

 « per ogni x fìsso, tende verso quello di una funzione limite f{x), allora 



ciò senza esigere, nè che la convergenza della f»(x) verso il suo limite f(x) 

 avvenga uniformemente, nè che sia soddisfatta la condizione, alquanto più 

 complessa, di Arzelà. 



Nel campo degli integrali R le cose si presentano meno semplici solo 

 pel fatto che la condizione di Arzelà (convergenza quasi uniforme in gene- 

 rale) ( 2 ) è necessaria (e sufficiente) per accertare che la funzione limite sia 

 integrabile R . Siccome però gli integrali R quando esistono sono anche in- 

 tegrali L, resta il fatto che la formula (1) è anche allora valida almeno 

 nel senso che se entrambi i membri hanno significato essi sono eguali. 



Il teorema, sotto forma di vari enunciati equivalenti, è stato dato dal 

 Lebesgue ( 3 ), ma con dimostrazione appena accennata. Le dimostrazioni sono 

 state riprese da altri matematici, e soprattutto dal Borei e dal Fréchet {*) 

 i quali hanno confermato fuori di dubbio la prima parte dell'enunciato, 

 quella che asserisce la integrabilità L di una funzione che sia limite di 

 una successione di funzioni integrabili L limitate nel loro insieme. In luogo 

 della seconda parte, essi dànno altri teoremi, che dipendono l'uno dall'altro, 



(') Scriverò per brevità sempre « integrali L » per dire « integrali nel senso di 

 Lebesgue », « integrali R » per dire « integrali nel senso di Riemann ». 



( 3 ) Ved. Arzelà, Mem. Acc. Bologna, 27 maggio 1900; la denominazione di quasi-uni- 

 forme si deve al Borei. 



( 3 ) Ved. Lebesgue, Lefons sur Vintégration ecc. Paris, 1904, pag. 114; vedi anche 

 la Thèse: Intégrale, Longueur, Aire, negli Annali di Matematica del 1902. 



(*) Ved. Borel-Fréchet, Lepons sur les fonctions de var. réelle. Paris, 1905, pag. 48. 



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