— 629 — 



e da cui l'enunciato può dedursi ma l'insieme delle dimostrazioni, molto 

 sottili e ingegnose, non si presenta ancora semplice e facile ad analizzare. 



Fermiamoci dunque a questa seconda parte, che interessa egualmente 

 gli integrali di Rieinann e di Lebesgue, cioè quella che asserisce l'egua- 

 glianza dei due membri della (1) quando essi esistono. In virtù della sua 

 estrema generalità e importanza, vale la pena di dedicare un esame speciale 

 alla dimostrazione. 



Dicendo R n {x) il resto f{x) — f n (x) e tenendo conto che senza ecce- 

 zioni l' integrale di una differenza è uguale alla differenza degli integrali ( 2 ), 

 l'asserzione da dimostrare si riduce a questa: Se una funzione B, n (x) in 

 ogni punto x di un intervallo finito a < x < b tende a zero per n = oo , 

 e se questa funzione resta sempre in valore assoluto inferiore a una quan- 

 tità fissa M, allora: 



(2) lim f R n (a;) dx = 0 



qualunque sia il modo anche non uniforme, e comunque slegato, con cui le 

 singole ordinate della R n (a?) tendono a zero. 



La dimostrazione si fa dipendere dal seguente 



Lemma. — Se una R„(cc) tende a zero, per n = oo , in ogni punto x 

 di un intervallo finito a < x < b , allora, data e positiva piccola a piacere, 

 l'insieme dei punti dove |R n (£c)j>é ha misura di Lebesgue ( 3 ) che tende 

 a zero col crescere di n . 



Infatti, se questo lemma è vero, date e , a arbitrariamente piccole, 

 purché non nulle, si può determinare un N finito tale che per ogni w>N 

 la misura <s x dell' insieme dei punti (li diremo punti speciali) in cui |R»(#)i>« 

 sia sempre •< or. Allora si può considerare una funzione maggiorante posi- 

 tiva 8(x) che sia = M (il valor limite superiore dei valori assoluti delle R„) 

 in essi punti speciali, e sia = s nel rimanente dell'intervallo. Questa S(x) è 

 integrabile L, e il suo integrale si sa calcolare (in base alla definizione stessa 

 di Lebesgue), ed è 



S(cc) dx = o^M + s{b — a — < tfM -f s{b — a) . 



( 1 ) Ivi, pag. 49; vi si richiama implicitamente un teorema dimostrato a pag. 37 

 che è una generalizzazione di un teorema di Arzelà; e questa dimostrazione a sua volta 

 si appoggia sopra un'altra, data a pag. 21, e che è un corollario di altra data a pag. 19, 

 la quale si dimostra in base a vari teoremi sulla composizione degli insiemi. 



( 2 ) Postulato di definizione 3° di Lebesgue, loc. cit., pag. 98. 



( 3 ) Si suppone la funzione misurabile nel senso di Lebesgue; cioè dato a qua- 

 lunque, l'insieme dei punti in cui R»(.»)>« abbia una misura di Lebesgue ben definita. 

 Questa proprietà, per le funzioni limitate, è condizione necessaria e sufficiente per la 

 integrabilità L . È bene ricordare che fino ad oggi non si conoscono funzioni non misu- 

 rabili. 



