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Ma T integrale della U n (x) è in valore assoluto non superiore all' inte- 

 grale della sua funzione maggiorante S(a;) ('). Quindi per ogni n > N) 



"6 



R n (x) dx 



<«rM -f s{b — a) , 



e siccome M,a,b sono rissi, mentre a , e sono arbitrariamente piccole, si 

 ricava 



lim f E n (x) dx = 0 



n=oo -J a 



forinola che essendo così provata per gli integrali di Lebesgue vale anche 

 per quelli di Kiemann quando esistono. 



Questa parte della dimostrazione si può ricavare dunque semplicemente 

 da principi fondamentali la cui portata è ben nota, e non lascia adito a 

 difficoltà o a dubbi. Resta da vedere quella del lemma fondamentale. 



Le considerazioni che sono state fatte per stabilire esso lemma fonda- 

 mentale (in casi speciali da Arzelà, e più generalmente dal Borei) si pos- 

 sono ridurre alle seguenti. 



Dato e positivo arbitrario fisso, e continuando a chiamare speciali i 

 punti in cui una generica B»(a>) ha valore assoluto >«, sia 



o 1 ! la misura dell'insieme dei punti speciali di R^cc) 

 °s * " » » R 2 (cc) 



Si tratta di dimostrare che <r n tende verso zero col crescere indefinita- 

 mente di n. 



La dimostrazione si fa per assurdo, osservando che se <t n non tendesse 

 verso zero, allora il più grande dei limiti di a n (il limite superiore d' in- 

 determinazione secondo Du Bois Reymond) avrebbe valore > 0, e per es. 

 = /?; ciò vorrebbe dire che scelta una qualunque a inferiore a /?, vi sareb- 

 bero infiniti valori di n , per cui a n sarebbe > a . E allora, in virtù di un 

 certo teorema sulla sovrapposizione degli insiemi, si arriverebbe alla conse- 

 guenza che nell'intervallo b — a esisterebbe un insieme, di misura non <«, 

 di punti ciascuno appartenente a un'infinità degli insiemi tr n , e cioè di 

 punti fissi in ciascuno dei quali R„(cc) non tende a zero per n = oo ; ciò 

 contrariamente all'ipotesi fatta. 



11 teorema sugli insiemi a cui faccio allusione è il seguente: Se si ha 

 su un intervallo finito L = b — a un'infinità numerabile d'insiemi, cia- 

 scuno dei quali ha misura > a , esiste nell'intervallo un'insieme di punti 

 ciascuno dei quali viene ricoperto da {cioè appartiene a) un'infinità fra 

 essi insiemi; e questo cosiddetto insieme limite completo ha misura _>a. 

 ( l ) In virtù dei postulati di definizione 3° e 4° del Lebesgue, loc. cit, pp. 98-99. 



