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Si vede dunque che a questo teorema, in ultima analisi, si riduce il 

 punto essenziale di tutta la dimostrazione sulla commutabilità del segno 

 limite col segno integrale. Nonostante però l'enunciato semplice e quasi 

 intuitivo del teorema stesso, la prova formale non è così immediata come 

 potrebbe apparire. Il Borei infatti lo deduce (*) come conseguenza di un 

 altro enunciato alquanto più complesso e generale (ma che può anche de- 

 dursi reciprocamente come corollario), la cui dimostrazione è piuttosto ardua 

 a seguire, e potrebbe lasciare qualche dubbio a chi non ne facesse uno studio 

 approfondito. 



Dobbiamo perciò essere grati al prof. Orlando che con la sua abituale 

 limpidezza ha dato nell' ultimo fascicolo di questi Rendiconti una dimostra- 

 zione del teorema in forma molto accessibile. 



In vista dell' importanza della questione, mi permetterò di suggerire 

 un procedimento di dimostrazione essenzialmente diverso, cioè non per as- 

 surdo ma per via di calcolo algebrico diretto sulla misura dell' insieme li- 

 mite; e spero che non farà « doublé emploi » perchè permette di asserire 

 un risultato anche sulla sovrapposizione di un numero finito di insiemi. Di- 

 mostrerò prima la formola per n finito, e poi passerò al limite per n=co. 



Sia dunque un segmento di lunghezza finita L (o più generalmente un 

 insieme di misura L). Applichiamo su di esso n insiemi, ciascuno di mi- 

 sura = l . 



Diciamo U\ la misura dall' insieme dei punti coperti 1 o più volte 



n \] 2 n d » » 2 » » '(*) 



», U„ » " » » n volte 



e non vi sono punti coperti più che n volte. 



Ciascuno di questi insiemi contiene il seguente; e abbiamo quindi 



D'altra parte abbiamo manifestamente (come conseguenza del modo 

 come gli (J sono generati) che la somma degli U è uguale alla somma 

 delle misure degli n insiemi applicati ; quindi 



U, + UH h Un è ni . 



Siccome qui tutti i termini sono =1^, e sono in numero di n, segue 

 (sostituendo a ciascuno di essi il valore massimo U\) che «Ui = n , e quindi 



(3) U;,^ 



( x ) Ved. Borel-Fréchet, op. cit., pag. 21. 



( a ) La misurabilità risulta da noti teoremi fondamentali nella teoria delle misure 

 di Lebesgue. 



