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Cioè abbiamo una serie di insiemi Uj U 2 Z> U 3 ... 13 Vi Z> ... di cui cia- 

 scuno è contenuto nel precedente; e tutti sono di misura Quindi ( l ) 

 esiste un insieme U x contenuto in tutti gli U„, ed è misurabile, ed ha 

 misura i^l. E questo è un insieme di punti ciascuno dei quali è coperto 

 infinite volte. Dunque 11 teorema è dimostrato. 



Si possono così confermare con tutta generalità i teoremi relativi alle 

 formolo (1) e (2). Contiene anche aggiungere che essi valgono pure quando 

 la convergenza delle rispettive funzioni verso il loro limite avviene a meno 

 di un insieme di punti di misura nulla- L'uno e l'altro si lasciano poi 

 anche enunciare come teoremi sulle serie ( 2 ). 



La validità di tutti essi è condizionata al fatto che l' intervallo di 

 integrazione sia finito, e la funzione da integrare sia compresa tra limiti 

 finiti fissi (anche qui, salvo al più un insieme di punti di misura nulla). 

 Quindi, come principio generale di analisi, si conclude che la effettiva di- 

 versità fra l'integrale di un limite e il limite di un integrale può solo 

 nascere quando l' insieme delle curve rappresentative delle funzioni che si 

 considerano ha qualche punto limite a distanza infinita ; cioè in qualche 

 modo, essa diversità è legata con la formazione di certe funzioni impulsive, 

 o analoghi elementi, il cui presentarsi spiega la diversità e può misurarla; 

 su questo argomento mi riservo di ritornare in altra occasione. 



Chimica. — Osservazioni chimico-mineralogiche su alcuni 

 berilli elbani ( 3 ). Nota dell' ing. dott. L. Maddalena, presentata 

 dal Socio G. Struever. 



Osservando i valori degli indici di rifrazione di vari berilli riportati dal- 

 l' Hintze( 4 ), si nota che i medesimi aumentano coli' intensità di colorazione 

 dei berilli stessi mostrandosi minimi per i berilli incolori dell'Elba, massimi 

 per gli smeraldi della Siberia. 



Il prof. Brugnatelli ( 5 ) richiamò l'attenzione su questo fatto avendo 

 notato che gli indici del berillo verde oliva di Sondalo (« = 1,5823; 

 e = 1,5762 [Na] ) e di quello celeste chiaro di Craveggia («0= 1,5830; 



f 1 ) In virtù di un teorema dato dal Lebesgue, loc. cit., pag. ]09, e la cui dimo- 

 strazione è molto semplice. 



( a ) Veggasi un enunciato in Lebesgue, loc. cit., pag. 114, in ultimo; un altro teo- 

 rema di portata diversa è stato dato da B. Levi nel 1906. L'enunciato di Lebesgue, pel 

 caso delle funzioni integrabili E, era stato dato per la prima volta da Osgood nel 1896, 

 ma con una restrizione che poi Hobson nel 1903 ha dimostrato superflua. 



( 3 ) Lavoro eseguito nell'Istituto Mineralogico della E. Università di Pavia. 



( 4 ) Handbuch der Mineralogie, pag. 1273. 



(*) Beryll. ù. andere Mineralien der Pegmatite von Sandalo. Zeitschr. f. Krystall. 

 ecc. 1902. 



Ekndiconti, 1912, Voi. XXI, 1° Sem. 



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