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Per semplicità di notazioni parlerò sempre di funzioni ortogonali di 

 una sola variabile indipendente ; ma nessuna modificazione speciale si richiede 

 nel caso di funzioni ortogonali di più variabili indipendenti ; sicché i risul- 

 tati qui ottenuti valgono senz'altro qualunque sia il numero di queste va- 

 riabili. Per la medesima ragione considererò solamente nuclei contenenti, in 

 ciascuno dei due gruppi di variabili, una sola variabile indipendente ; ma i 

 ragionamenti ed i risultati valgono senza modificazione alcuna, qualunque 

 sia il numero delle variabili contenute in ciascuno dei due gruppi. 



È superfluo ehe io qui insista sull'ufficio che i risultati di questa Nota 

 possono avere nello sviluppo delle funzioni in serie di funzioni ortogonali (*) 

 e nella risoluzione delle equazioni integrali di l a specie ( 2 ). 



Esistenza di un sistema complementare. 



1. Sia 



<& = tp^x) , (p 2 ( X ) , .., 



un sistema finito od infinito di funzioni ortogonali, definite in un certo 

 campo ~ab, ed integrabili in questo campo nel senso di Lebesgue insieme 

 ai loro quadrati ed ai loro prodotti due a due. Se questo sistema non è 

 chiuso, vuol dire che esisterà almeno una funzione O^-x), che supporremo 

 integrabile ( 3 ) insieme al suo quadrato, tale che 



b g>i(x)6 ì (x)dx = 0, (i=l ,2, ...). 



r 



•J a 



Si determini la costante C\ in modo che, posto: 



risulti : 



JVi(#)P dx = 1 ; 



f 



^ a 



e si consideri il sistema di funzioni ortogonali: 



Se questo sistema non è chiuso, vuol dire che esisterà almeno una fun- 

 zione d 2 (x), che supporremo integrabile insieme al suo quadrato, tale che 



f Vfa) e *( x ) dx = 0 , f (pi{x) 6 2 (x) cte = 0 , (* = 1 , 2 , ...) . 



J a J a 



(') Ved. la mia Nota: Sopra gli sviluppi in serie di funzioni ortogonali. Rendi- 

 conti del Circ. mat. di Palermo, tomo XXIX, anno 1910, 1° sem. 



( 3 ) Ved. la mia Nota: Sulla risoluzione dell'equazione integrale di l a specie. Ren- 

 diconti della R. Accad. dei Lincei, ser. 5 a , voi. XX, aprile 1911. 



( 3 ) Intenderemo sempre nel senso di Lebesgue. 



