— 677 — 



Si determini la costante c 2 in modo che, posto : 



ipi(x) = 0% e 2 (x) , 



risulti: 



}V*(£c)f 8 rfac — 1 ; 



e si consideri il sistema di funzioni ortogonali : 



g>i(x) , g>%{x) , ... 

 / ìp,{x) , t// 2 (^). 



Seguitando a ragionare nella stessa guisa o arriveremo ad un sistema 

 finito di funzioni ortogonali: 



tale che il sistema ortogonale: 



\ tp^x) , 9>s(a;) , ... 



/ ip^x) , ip 2 {x) , ... , xp n {x) 



risulti chiuso, oppure si avrà un sistema *P infinito di finzioni ortogonali. 



Ora, in virtù di un teorema di Schmidt ( 1 ), qualunque sistema di infi- 

 nite funzioni ortogonali è numerabile, sicché il sistema *P deve necessaria- 

 mente essere numerabile; e perciò, indicate con ipi(x) , tpz(x) , ... le funzioni 

 che lo compongono, si avrà che il sistema di funzioni ortogonali : 



(1) Sì=\ 



I ift^x) , ViW» - 



deve risultare necessariamente chiuso. Riepilogando si ha quindi il seguente 

 teorema: ogni sistema non chiuso di funzioni ortogonali , può rendersi 

 chiuso associando ad esso un sistema finito o infinito e numerabile di 

 funzioni ortogonali e tali che il sistema totale,, che ne risulta, oltre ad 

 essere chiuso, sia anche ortogonale. 



Teorema di unicità. 



2. Vogliamo ora dimostrare che il sistema ?P, il quale associato al 

 sistema <P lo rende chiuso, è unico. Qui l'unicità deve intendersi nel senso 



(') Sur la puissance des systèmes orthogonaux de fonctions continues. Coraptes 

 rendus de l'Ac. de Se. Paris, tom. CXLIII, 2° seni. 1906, pp. 955-957. 



