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che qualunque altro sistema di funzioni %\{x) , fe(x) , ... , il quale, asso- 

 ciato al sistema <P, lo rende chiuso,, è una combinazione lineare ed omo- 

 genea, intesa in un certo senso che sarà ora precisato, delle funzioni tyi(x), 

 rp t {x) , ... del sistema W. 



Per dimostrare questo teorema basterà provare che qualunque funzione 

 x{x) , integrabile insieme al suo quadrato nel campo ab, la quale soddisfa 

 alle equazioni: 



(2) r x (x)( Pi (x)dx = 0, (*=l,2,...) 



si può sempre esprimere linearmente ed omogeneamente, nel senso che ora 

 sarà spiegato, per mezzo delle tp x {x) , ifJ 2 (x) . ... 

 Precisamente noi dimostreremo che, posto: 



aj = f %(x) xpj(x) dx , 



•J a 



si può sempre determinare una serie finita od infinita di numeri interi, 

 positivi e crescenti n x ,n % , ... tali che sia : 



(3) x(x) = aj %(x) -f- a} xpj(x) + - , 



1 »i ■+• l 



la serie al secondo membro essendo convergente uniformemente in generale 

 in tutto il campo ab nel senso di Weyl ( ! ). 

 A tal uopo si ponga ( 2 ) : 



P 



fp(^) = y .ajxfjj(x); 

 1 



e si osservi che dalla nota disuguaglianza di Bessel : 



'b m 1 b m 



0 — / | xO») — ]T ipj(x) ì dx — J \ x(x)\* dx — ^ a) , 



\° l 3 . ' " l 3 



risulta la convergenza della serie V. a? , in virtù della quale sarà per qual- 



(') Ueber die Konvergenz von Reihen, die nach Orthogonalfunctionen forschreiten. 

 Math. Annalen, Bd. LXVII, 1909; cfr. Plancherel, Contribution d Vètude de la répre- 

 sentation d'une fonction, ecc. Rencìic. del Circolo Mat. di Palermo, tomo XXX ; e G. Lau- 

 ricella, Sulla risoluzione dell'equazione integrale di. l a specie. Rend. della R. Acc. dei 

 Lincei, ser. 5 a . voi. XX, anno 1911, 1° semestre. 



( 2 ) Cfr. Lauricella, Sopra i nuclei reiterati, § 2, Rend. della R. Acc. dei Lincei, 

 ser. 5*, voi. XX, anno 1911, 1° semestre. 



