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 siasi valore intero e positivo di q : 



lim f j f p+q {x) — f p {x)\ % dx = 



= lim ]y , % xpj(x) \ dx = lim ^ aj=0. 



75 + 1 p + l 



Questa ci dice che il sistema delle funzioni f p {x) è convergente in 

 media; ed allora dal teorema di Weyl si avrà che è possibile determinare 

 una serie infinita di numeri interi, positivi e crescenti n x , n 2 , ••• , tali che 

 la serie 



(4) 6{x) == Of ipj(x) + y_ , aj xpjix) + - 



1 «, + 1 



converga uniformemente in generale in tutto il campo ab verso una certa 

 funzione 6(x) sommabile nel campo ab insieme al suo quadrato. 

 Notiamo che si ha : 



f 6{x) xpj{x) dx = lim f f„ t {x) xpj{x) dx = a. t ; 



e per conseguenza: 



(5) r\ x {x) — e{x)\x(J j (x)dx = O ì (; = 1,2,...). 



Notiamo ancora che, integrando per serie, come qui è pur lecito di 

 fare, si ottiene, in virtù della ortogonalità del sistema (1): 



6(x) (fi(x) dx = y .aj ipj(x) <fi{x) dx -j- 

 J a \~ J 



^ r b 



+ 2_; a > J ^iO») ^ H = 0 ; 



»i ■+■ 1 



sicché avremo, in virtù della (2), 



f Jx(a) — «(a;)( <fi(x) dx = 0 . 



Questa e la (5) ci danno, rammentando che il sistema (1) delle ^(a;) 

 e delle ipj(x) è chiuso, 



x(*0 - «(*) = 0 



