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in tutto il campo ab, eccettuati al più i punti di un insieme di misura 

 nulla. Di qui, avuto riguardo alla (4), si ricava la (3), appunto come vole- 

 vamo dimostrare. 



È evidente che le considerazioni precedenti si semplificano notevolmente 

 nel caso in cui il sistema *P di funzioni ipi(x) , ty t {x) , ... sia finito. 



Costruzione del sistema complementare. 



3. Vediamo ora in qual modo, dato un sistema <Z> non chiuso di fun- 

 zioni ortogonali si possa realizzare ogni volta un sistema *P di funzioni or- 

 togonali, che diremo complementare, il quale, associato al sistema <2>, dia 

 luogo ad un sistema iì ■= <b -j- *P ortogonale e chiuso. 



Si consideri un qualsiasi sistema chiuso H di funzioni ortogonali, inte- 

 grabili insieme ai loro quadrati e ai loro prodotti due a due ( l ) : 



(6) H == %i(x) , % % {x) , ... 



Poiché la funzione %i(cc), come tutte le altre del sistema H, è inte- 

 grabile insieme al suo quadrato, posto: 



ehj =s f jk(as) <Pj{%) dx , 



J a 



risulterà, come al § precedente, che si può determinare, in virtù del teorema 

 di Weyl, una serie infinita di numeri interi, positivi e crescenti n x , n% , ... , 

 tali che la serie: 



1 M.i+ 1 



sia convergente uniformemente in generale nel campo ab. Allora, indicata 

 con Ci una costante indeterminata, avremo che l'espressione: 



Vi(a?) = Ci \xi{x) — j aij (pj(x) -f- ^ a xj <fj{x) + - J 



1 7li ■*■ 1 



risulterà integrabile insieme al suo quadrato nel campo ab, e la serie al 



(*) Ad esempio, si potrebbe prendere la serie (a = 0,è = l): 

 1 , cos 2nx , sen lux , ... , cos 2nnx , sen 2nnx , ... 



