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risulterebbe per i qualsiasi, integrando per serie, 



Ciò che è in contraddizione con l'ipotesi che il sistema H delle fun- 

 zioni ortogonali (6) sia chiuso. 



Ottenuta una prima funzione tff^x) , la si associi al sistema dato 0> ; 

 e se il nuovo sistema, così ottenuto, non è chiuso, si operi con esso sul 

 solito sistema H (\), appunto come si è già operato su di esso col sistema 

 dato d>. 



Procedendo sempre nella stessa maniera, o si otterrà un sistema finito <P 

 di funzioni xp,{x) , y t (x) , ... , fn{x), 11 <l uale associato al sistema dato <P 

 lo rende chiuso, oppure si otterrà un sistema infinito numerabile *P di fun- 

 zioni xp^x) , tff t (x) , - , che associato al sistema dato <P darà luogo ad un 

 sistema Sì == 4> -j- 3* ortogonale, il quale pure sarà chiuso, come risulta ri- 

 petendo il ragionamento precedente ai sistemi H ed Sì (*). 



Condizione necessaria e sufficiente per la chiusura. 



4. Dalle considerazioni del § precedente risulta ovviamente il seguente 

 teorema: condizione necessaria e sufficiente affinchè un sistema <P di fun- 

 zioni ortogonali sia chiuso è che per tutte le funzioni %i{x\ di un solo 

 sistema chiuso qualsiasi H di funzioni ortogonali, valga uno sviluppo 

 della forma (7). 



Infatti se il sistema £> è chiuso, le espressioni: 



q { ( x ) = a \~xì{x) - j a„ <pj(x) + % jj 

 L- ^ i 



devono per qualsiasi valore di i essere uguale allo zero in tutto il campo ab 

 (esclusi al più i punti di un insieme di misura nulla) ; mentre d'altra parte 

 se la (7) ha luogo qualunque sia il valore di i, il procedimento del § pre- 

 cedente non ci dà alcuna funzione ipi{x) per il sistema complementare «P, 

 e perciò il sistema d> deve essere necessariamente chiuso. 



(■) Naturalmente è inutile operare sulle funzioni %t(X) ,%x{aì) , -, che già sono 

 state adoperate nell'operazione precedente per ottenere la ^M). 



( a ) Da tutto ciò risulta nuovamente dimostrato il teorema del § 1. 



