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Valendosi della nozione di equazione di chiusura, introdotta dallo 

 Stekloff (*), il precedente teorema può mettersi sotto l'altra forma seguente: 

 condizione necessaria e sufficiente affinchè un sistema <P di funzioni orto- 

 gonali sia chiuso, è che l'equazionedi chiusura relativa al sistema <P sia 

 soddisfatta da tutte le funzioni di un solo sistema chiuso qualsiasi H di 

 funzioni ortogonali. 



5. Vogliamo ora dimostrare che la precedente condizione necessaria e 

 sufficiente richiede il minimum di condizioni affinchè un qualsiasi sistema <2> 

 sia chiuso ; e precisamente vogliamo dimostrare che le condizioni enunciate 

 per le %i{x) del sistema H, affinchè un sistema <t> sia chiuso, sono indi- 

 pendenti tra di loro. Naturalmente basterà verificare questa proposizione per 

 un particolare sistema CP, ad esempio per il sistema 



9i{x) — , <P*{x) = %ì (x) , ... , (fi-^x) == xi-i(x) , 



<Pi(x) = > <Pi+i{%) = %ì+i{x) , ... , 



cioè per il sistema <P che si ottiene dal sistema H togliendovi la funzione %i(sc). 

 Ora relativamente a questo sistema O si ha, se v<C b , 



'6 



i>l, 



J a ( 1 per j — i , 



mentre se i = l si ha : 



a H = f g>i{x) dx = 0 (j = 1 , 2 , ...) 



Quindi, limitandoci per esempio alla seconda forma del teorema, si ha che 

 l'equazione di chiusura: 



rb » 



jXi(x)} 2 dx = y,a& 



1 



mentre è verificata per le %i{x) del sistema H con indice i diverso da l, 



non è verificata per la funzione %i{x); e ciò dimostra appunto l'enunciata 

 indipendenza. 



H Loc. cit., pag. 3. 



Rendiconti. 1912, Voi. XXI, 1° Sem. 



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