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Spazio S . 



1 j Retta (e sua polare reciproca rispetto 

 a r, considerate come direttrici di una con- 

 gruenza lineare); retta del complesso. 



2) Faccetta (') (e sua polare reciproca ri- 

 spetto a r). 



3) Faccette di una superficie (d x (e le re- 

 ciproche rispetto a T, formanti una super- 

 ficie Wj). 



4) Faccetta di una superficie oa l conside- 

 rata insieme al fascio delle tangenti ivi 

 (e alle reciproche rispetto a I"). 



5) Asintotiche su a>, (e sulla reciproca to 2 ). 



Spazio S'. 



Sfera (considerata come lungo dei suoi 

 punti); sfera nulla (cono isotropo). 



Faccetta. 



Faccette di una superficie Sì. 



Faccetta di una superficie, considerata 

 insieme al fascio delle sfere tangenti alla 

 superfìcie nel suo punto di contatto. 



Linee di curvatura su Si. 



La proprietà enunciata in 4) fa corrispondere alle tangenti in un punto 

 di &>! le sfere tangenti nel punto corrispondente di Si ; tuttavia la corrispon- 

 denza fra punti sulle due superficie subordina una corrispondenza tra i fasci 

 di tangenti ivi. Questa sarà anzi una proiettività, e, per la proprietà 5), 

 essa muterà l' involuzione delle tangenti determinata in un punto di w 1 dalle 

 tangenti asintotiche, in quella determinata dalle tangenti di curvatura nel 

 punto corrispondente di Sì . E poiché alle linee del complesso lineare r su a> x 

 corrispondono linee nulle su Sì, ne risulta fissata la corrispondenza fra le 

 due involuzioni nominate. 



Riassumendo : 



La trasformazione di Lie fra i punti delle due superficie e Sì 

 pone in corrispondenza proiettiva le involuzioni delle tangenti aventi come 

 rette doppie le tangenti asintotiche in un punto di wi , e rispettivamente 

 le tangenti di curvatura nel punto corrispondente di Sì . Questa corrispon- 

 denza è tale che al doppio sistema di curve nulle su Sì corrisponde su a>i 

 (e su oo 2 ) il sistema delle curve di JP e il sistema ad esse coniugato (nel 

 senso di Dupin). 



È scopo della presente Nota l'assegnare una trasformazione geometrica 

 che permetta di costruire, in termini finiti, la nominata corrispondenza fra 

 le due involuzioni (nn. 2 e 3); e l'esporre (nn. 4 e 5) alcune proprietà di 

 una superficie considerata in rapporto ai complessi lineari di rette nello 

 spazio. Queste proprietà, come del resto la trasformazione stessa di Lie, 

 sono casi particolari di teoremi più generali che formeranno oggetto di un 

 prossimo lavoro. 



(') Locuzione adottata dal Bianchi (v. per es. Atti del IV Congr. intern. dei Mate- 

 matici, voi. II, pag. 264) : traduce il « Flachenelement » dei Tedeschi. 



