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2. Si considerino le rigate contenute in r, tangenti ad w, (e ad « 2 ) 

 secondo curve uscenti da un punto della superfìcie o 1 con la stessa tangente : 

 queste rigate hanno in comune una generatrice e, di più, sono raccordate (') 

 lungo essa. Le schiere quadriche (contenute in Fj osculatoci a queste rigate 

 lungo la generatrice comune descrivono una congruenza lineare ( 2 ) le cui 

 direttrici sono tangenti ad e ad co 2 nei punti della generatrice scelta. 

 Proviamo questo teorema per via analitica. 



Le curve della superficie «! , g = g(x , y), uscenti da un punto (x,y,g) 

 con una tangente assegnata (curve di contatto di quelle rigate con la super- 

 ficie <»,) sono fissate ponendo y = y{x), con la condizione che il valore di 



v' = ^ relativo al punto fissato (x , y , s) abbia per tutte queste curve lo 



a dx 



stesso valore (saranno invece distinti da curva a curva i valori di y" ,y"\ ecc.). 

 Sia ( 3 ) (x , y ,k , p , q) la faccetta in esame di w 2 ; la faccetta reciproca ri- 

 spetto a r ha le coordinate 



£ = — q , 7j = , £ = g — xp — yq , p' = y , q' = — x . 



La retta di r appartenente alle due faccette è definita dai punti (a;,^,^), 

 (£ , rj , £)• Proveremo il nostro asserto mostrando che la retta di r congiun- 

 gente i due punti : 



(x + dx + ^x , y + dy-\-^d*y , * + <fc + ^d ! *) , 



+ # + , V + dv + ld'ri , t + + 



(i differenziali che compariscono in essi van calcolati prendendo x come 

 variabile indipendente, quindi d 2 x = 0, e servendosi delle relazioni y = y(x), 

 z ==g(x , y) e delle ultime scritte che dànno g,rj,£) incontra la faccetta 

 (x ,y ,*,p,q) in un punto (x + ix , y + ày , t + <f£) dipendente solo 

 dal valore di y e non da y" : la tangente della faccetta di definita da 



— sarà una delle direttrici cercate; l'altra si otterrebbe operando nello 

 dx 



stesso modo su u 2 . 



(*) Due rigate si dicono raccordate lungo una generatrice comune quando hanno 

 gli stessi piani tangenti in tutti i punti di essa. 



( 2 ) Questa prima parte del teorema è già nota (cfr. Koenigs, Sur les propriétés infi- 

 nitésimales de V espace réglé. Ann. de l'Ec. Norm. Sup., 1882 (2), tomo II). Per il nostro 

 scopo è invece essenziale la determinazione delle direttrici della congruenza. La dimo- 

 strazione che segue include naturalmente quella del teorema di Koenigs. 



( 3 ) Le quantità x , y , z , p , q , — 1, sono ordinatamente le coordinate del punto 

 della faccetta, e quantità proporzionali ai coseni direttori della normale al suo piano. 

 Per le formole riportate in questo numero, cfr. Lie-Scheffers, loc. cit., pp. 467 e 468. 



Rendiconti, 1912, Voi. XXI, 1° Sem. 92 



