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La direzione -f- è individuata dall'annullarsi (dei termini d'ordine più 

 ox 



sione -f- e 

 ox 



basso) del determinante 



x 



x + àx 



y-\-òy 



x -f- dx 



— (q + dq + l&q^ p + dp + ^d 2 p 



Z -{-pdx -f- pdy 

 z -\- pdx -f- qdy -f- \ d 2 z 



z — xp — yq — xdp — ydq — 

 - - \dx dp -{-dydq-^- xd 2 p + yd 2 q\ 



e, quindi, dall'equazione 

 1 



Sy 

 Sx 



0 



±(r + 2sy' + ty' 2 ) 



1 y' 



— {q-\- x) p — y (p — y)(s + ty) — {q + x)(r-\- sy') 



= 0 



(p , q , r , s , t sono i simboli di Monge per indicare le deriv ate di z rispetto 

 ad x e ad y). 



Introduciamo la direzione 



f 



r -j- sy' 

 s + ty' 



coniugata (nel senso di Dupin) alla y sulla faccetta (x ,y , z ,p . q) di (o 1 , 

 e la direzione 



y — V 



y r = 



q + x 



della retta del complesso r appartenente alla faccetta. L'equazione prece- 

 dente si scrive: 



Sx 



y'r+y'-y'-l^ + y'r) (y'+r) = o ; 



essa esprime che le quattro rette della faccetta uscenti dal punto (x,y,z) 

 nelle direzioni y- ,y' r ,y' ,y' formano un gruppo armonico ; con una nota- 



