— 701 — 



zione abituale scriveremo la relazione che definisce — — y' 8 : 



(y'a 7 y r < y ,y) = — 1 ■ 



Osserviamo che in essa : 



1) non è contenuto y" : 



2) y e y' hanno ufficio scambievole. 



Per enunciare brevemente il risultato ottenuto diciamo schiera qua- 

 drica osculatrice ad «i la schiera quadrica (di T) osculatrice ad una ri- 

 gata di r circoscritta ad u> x ; si ha così: 



Le schiere quadriche di T osculatrici ad w l secondo una stessa tan- 

 gente {e ad u) z secondo la tangente reciproca) appartengono ad una con- 

 gruenza lineare: due tangenti coniugate [nel senso di Dupin) danno origine 

 alla stessa congruenza. Una sua direttrice è coniugata armonica della 

 retta di r, appartenente alla faccetta di to,, rispetto alle due tangenti 

 coniugate; l'altra direttrice si ottiene operando analogamente su w 2 . 



3. Osserviamo che il teorema ora stabilito sulle schiere quadriche oscu- 

 latrici alle rigate di JT, tangenti ad co,, e raccordate lungo una generatrice, 

 si muta, con la trasformazione di Lie, nel teorema di Meusnier relativo ai 

 circoli osculatori alle curve di una superficie uscenti da un suo punto con 

 la stessa tangente: infatti questo teorema afferma che i circoli nominati 

 appartengono ad una sfera tangente alla superficie nel punto (che dirò sfera 

 di Meusnier relativa alla tangente scelta). Si sa anzi di più che ogni sfera 

 tangente alla superficie in un punto risulta sfera di Meusnier per due tan- 

 genti, simmetriche rispetto a quelle di curvatura nel punto stesso. 



Siamo ora in grado di completare nel senso accennato, la trasformazione 

 di Lie. Si parta da una coppia di tangenti coniugate (/ e y) in un punto 

 di «! (e dalle reciproche tangenti ad to 2 ): ad esse, considerate in rapporto 

 al complesso lineare r . il teorema precedente fa corrispondere una retta pure 

 tangente nel punto ad m,, e definita dal doppio rapporto: 



{y's > tf' T . y' ' f ) = — 1 ■ 



A questa retta (e alla reciproca rispetto a T, tangente ad w t ) la trasfor- 

 mazione di Lie fa corrispondere una sfera tangente ad Sì, che riesce sfera 

 di Meusnier per due tangenti simmetriche rispetto a quelle di curvatura 

 nel punto di contatto. 



Diremo questa coppia di tangenti (di fi) corrispondente a quella di 

 partenza. La nostra corrispondenza pone dunque in relazione proiettiva l' in- 

 voluzione delle tangenti determinata in un punto di (e di w 2 ) dalle tan- 

 genti asintotiche e quella determinata nel punto corrispondente di Sì dalle 



