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tangenti di curvatura. Ma di più, poiché la sfera di Meusnier relativa alle 

 tangenti isotrope in un punto di Sì è il cono isotropo con vertice nel punto, 

 ad essa corrisponde nella trasformazione di Lie la retta, tangente ad wj ,y' r ; 

 quindi y' s = y' r e allora y' e y' sono, per la relazione precedente, y' T stessa 



e la direzione coniugata. 



Questa trasformazione degli intorni di due punti corrispondenti è appunto 

 determinata dalla trasformazione di Lie fra i punti stessi : perchè alla retta 

 congiungente dei due punti infinitamente vicini di «i corrisponde (con la 

 nostra trasformazione) la retta congiungente i due punti corrispondenti su Sì . 



È così stabilito di nuovo il risultato del n. 1, e di più che la corri- 

 spondenza fra le due involuzioni definite al n. 1 si può costruire geometri- 

 camente così: 



Data una coppia di tangenti coniugate (nel senso di Dupin) in un 

 punto di »! si costruisca la quarta armonica dopo esse e la retta ivi 

 tangente del complesso T: la trasformatone di Lie muta la retta costruita 

 in una sfera,, tangente ad Sì, che risulta sfera di Meusnier per due tan- 

 genti simmetriche rispetto a quelle di curvatura nel punto di contatto. 

 La coppia di tangenti ottenuta corrisponde a quella di partenza nella 

 proiettività determinata dalla trasformazione di Lie negli intorni di due 

 punti corrispondenti di oo 1 e di Sì . 



E viceversa. 



4. Il teorema del n. 2, nel linguaggio infinitesimale, ci dice che una 

 tangente in un punto di oa ì e la retta del complesso r ivi tangente ad w, 

 individuano una congruenza lineare alla quale appartengono le rette di F 

 tangenti alla superficie nell' intorno del 1° e del 2° ordine nella direzione 

 della tangente fissata. Ci si può domandare se alla stessa congruenza appar- 

 tiene qualche retta di J\ tangente ad w l nell'intorno del 3° ordine. Se- 

 guendo lo stesso procedimento tenuto prima, bisognerà annullare il deter- 

 minante ( l ) : 



1 A 0 



— {q + x)—(dq+\ d 2 q -f d^ p — y + dp + ^d^p+^d^p N 

 dz 



{') Il simbolo — sta in luogo di p-\-qy'\ analogamente vanno calcolati 



d*z d*h d*q 

 da* ' dx* ' dee* ' "' 



