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che & va contato fra 0 e ti, positivamente nel verso x — >y, negativamente 

 nell'opposto. 



L'ipotesi che le traverse sieno periodicamente disposte sul fondo del 

 canale ad intervalli di X una dall'altra, porta come naturale conseguenza 

 che il moto (permanente) della corrente abbia carattere periodico, con pe- 

 riodo X. 



Ciò viene analiticamente tradotto nella circostanza che tanto la funzione 

 w{z) -- u(x , y) — iv{x , y), quanto la w(z) = ti(x , y) -\- ir(x , y) ammettono 

 il periodo reale k . Segue da (2) che anche la f ammette allora un periodo 

 reale, che indicheremo con v. A norma della (2) stessa e della (3) X e v 

 sono legate fra loro dalla seguente relazione 



(4) = P d t = r e i°>df. 



È facile vedere che v è essenzialmente positiva. Basta notare infatti : a) che 

 v non è altro che la differenza (eostante) <p(x -f- X , y) — <p(x , y), qualunque 

 sia il punto (x,y) del campo del moto; b) che il fondo y = 0 è linea di 

 flusso; e) che lungo ogni linea di flusso y> va sempre crescendo (nel verso 

 del flusso). Da ciò scende quanto si voleva dimostrare. 



2. Giova tenere presenti le condizioni ai limiti. Esse consistono nello 

 esprimere che tanto il fondo quanto il pelo libero l sono linee di flusso. 

 Analiticamente questo equivale a dire che su ciascuna di esse è tp costante. 

 Preso ip = 0 sul fondo e tp = H > 0 sopra l, H rappresenta, com'è ben 

 noto, la portata della corrente. 



Sopra ogni altra linea di flusso è 0 < xp < H . Per questo e pel fatto 

 che lungo ciascuna linea di flusso g> varia da — oo fino a -f - °°> possiamo 

 concludere che la f — f{z) consente di rappreseutare il campo del moto 

 nella striscia xp = 0 , ip = H del piano / = y> -f- tip. Notiamo ancora che, 

 trattandosi di moto irrotazionale, permanente, in assenza di forze, sul pelo 

 libero l , V = \ w\ dev'essere costante. Prendendo questa costante eguale a 1, 

 dovremo avere, per la (3), 



(5) t = 0 , sopra l. 



3. Poniamo ancora 



. lizf _ 2ttH 



(6) £ = qe l v ; q = e ; 

 con che q <C 1 • 



Come facilmente si vede, ogni funzione «(/), regolare nella striscia 

 0 <C ^ <C H e avente per periodo v, diviene per le (6), funzione dell'argo- 

 mento £ uniforme e regolare entro la corona circolare £-<|£Kl- 



