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Alla circonferenza |t|<C 1 (considerata una sola volta a partire dal 

 punto — 1, nel senso — 1 , i, ecc.) corrisponde, nel piano z = x-\-iy, la 

 parte di pelo libero / compresa tra le verticali x = — -\ A , x = \X\ 

 mentre alla circonferenza \£\ = q corrisponde la parte di fondo compresa tra 

 le medesime verticali, 



In modo preciso, posto 



(7) Ci = qe ia o , £ 2 = qer^o (0 <. <r 0 <. ti), 



agli archi ( — q ,£}) , (£i , q) , (q ^2) • (£2 , —q) corrispondono rispetti- 

 vamente (vedi figura) ca, , ^ , fi* , af 2 . 



Ciò posto, riportandoci alla variabile £ = £-\-ir] e tenuto conto del- 

 l'andamento del fondo del canale nel tratto accennato, nonché della (5), si 

 ha: la funzione w(£) = -\- ì% dev'essere regolare per q<C\£\<il; reale 

 per |£|=1; infine sopra la circonferenza — q la sua parte reale & 

 deve comportarsi nel modo qui sotto indicato : 



| # = 0 sopra gli archi ( — q , Ci) e ( — q , £2); 



(8) < 7T 7T 



|^ = - sopra , ti) ; # = — sopra (q , £ 2 ). 



4. Si tratta ora di costruire la funzione 00 soddisfacente a tutte le con- 

 dizioni specificate. 



Poiché la ft>(£) deve essere regolare entro la corona circolare accennata, 

 sarà ad essa applicabile lo sviluppo del Laurent 



(9) ^O = «o + + 



1 



i coefficienti a e b (in generale complessi) devono rendere convergente la 

 serie per q <^\£\<C,l, e in pari tempo vanno valutati in guisa che la co sod- 

 disfi, al contorno, alle condizioni volute. Affinchè <»(£) sia reale per |£| = 1 

 basta manifestamente che a 0 sia reale e che « B e 5„ sieno complessi co- 

 niugati. 



Posto così a n = «„ -f- ifin 1 b„ = a n — i@ n , con a n e § n costanti reali, 

 la precedente espressione di «(£) soddisfa alla condizione relativa al contorno 



Posto ancora in (9) f = qe' a , facilmente si vede che alle (8) si sod- 

 disfa prendendo 



_ _ a o cos na 0 — 1 

 n(q n -f- q n ) 



Pertanto la (9) diviene 



(9) »(o=*y„ — — Y+q^' 



che rappresenta l' integrale generale della nostra questione. 



Rendiconti, 1912. Voi. XXI, 1° Sem. 93 



