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nitamente piccoli, valgono i teoremi della geometria euclidea, si può isti- 

 tuire una teoria generale in S w che contiene, per n = 3, l'ordinaria Statica 

 e l'ordinaria Dinamica. 



2. Intanto, a parziale giustifica delle nozioni qui assunte, si osservi 

 che, se S„ è euclideo, e per y si prende il vettore u della forza F appli- 

 cata in x, sicché sia F = xu, e se i l , i% , ... , i n sono n vettori unitari due 

 a due ortogonali fra loro ed e un punto arbitrario al finito di modulo 1 , 

 si potrà all'espressione (1) di x sostituire la seguente 



(7) X = e -f- Xiìi + X z h -\ \~ X n Ì n , 



ove x x ,x 2 , ... , x n sono le coordinate cartesiane ortogonali di x rispetto 

 agli n assi ex l , ex z , ... , ex n e prendere per u l'espressione 



(8) U = Ui li -\-UìÌì-\ + U n Ì n , 



ove Uì,Uì, ... , u n sono le componenti di u, epperò pure quelle della forza F , 

 secondo z medesimi assi. Allora, come dalla (7) si ricava 



(9) dx — dxi . iì -j- dx z . ii -\ h dx n . i n , 



così da (8) e (9) si ricaverà 



cos (u , dx) = — : : 



]/{u\u) ]/{dx\dx) 

 ovvero, per essere 



(dx\dx) = dx\ -f- dx\ -j (- dx\ — ds % : 



/ , x /t* i \ (u\dx) 



cos(m , dx) = cos(i , as) = p - ^ - j 



avendo messo F al posto di u, come usa farsi, ed avendo indicato con ds 

 l'arco elementare descritto dal punto x nello spostamento dx Da tale equa- 

 zione si deduce per (u\dx) che, nel caso presente sostituisce la (y\dx) del 

 caso generale, la espressione 



(u\dx) = ¥ds . cos (F , ds) , 



che è appunto quella del lavoro elementare della forza F applicata nel 

 punto x durante lo spostamento elementare ds , nel senso dell'ordinaria 

 Statica. 



\_N. B. La determinazione -\- (y\dx) conviene agli spazi ellittici; nel 

 caso di spazi iperbolici, la determinazione -\-{y\dx) conviene a punti dello 

 spazio propriamente detto, e la determinazione — (y\dx) ai punti dell' anti- 

 spazio, o spazio ideale^. 



