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3. Consideriamo ora un punto x in movimento; se, come avvertimmo, 

 teniamo conto che negli spazi ellittici, e iperbolici, per intervalli infinita- 

 mente piccoli valgono i teoremi della geometria euclidea, troviamo che, sup- 

 ponendo Xi,Xi, ... , x n+x funzioni di una variabile t, che si dirà tempo, 

 le espressioni 



dee d oc 



rappresentano completamente la velocità e l'accelerazione del punto x al 

 tempo t. Quanto alla velocità come misura effettiva del rapporto fra lo 

 spostamento subito dal punto x ed il tempo dt nel quale è seguito, va di- 

 stinto esplicitamente il caso in cui lo spazio è ellittico da quello in cui è 

 iperbolico. 



Per fare uno spazio ellittico si supporrà a x === a 2 = •■ = a n+l == 1 ; 

 per farlo iperbolico si prenderà a x = a 2 = ••■ = a n = ]/ — 1 , «„ +1 = 1 . 

 Allora, indicando con ds l'arco elementare di traiettoria descritta dal punto x, 

 avremo 



ds xdx 



— = sen 

 Y Y 



ds , xdx 



\/{xdx\xdx) = ]/(dx\dx) nel 1° caso 



= senh — — = j/ — (xdx\xdx) — ]/ — (dx\dx) nel 2° caso. 

 Contemporaneamente per la richiesta misura della velocità si avrà 



nel 1° caso, e 

 (10') y = yj 7 



' ^dx 



dx\ 

 dt) 



+ / 1 dx x \* (dXi\ % . IdxnY l dx n +iV 



nel 2° caso. Per abbracciare i due casi in una sola scrittura quando non 

 occorre tener presenti gli sviluppi effettivi, e nemmeno la diversità di signi- 

 ficato della costante y nelle due formule, scriveremo 



;io") 



v = r \ 



i dx 



dx\ 



% \dt 



dt) 



dove è stato introdotto il simbolo t a rappresentare la differenza dei due casi. 



